Consecuencia de la convergencia de la función indicadora a cero en probabilidad.

Question

Dejemos que $ (\Omega, \mathcal{A}, P) $ sea un espacio de probabilidad. Supongamos que $ \{ X_n := 1_{A_n} \}_{n \in \mathbb{N}} $ es una secuencia de variables aleatorias simples y $ X \equiv 0$ . Se afirma que $ X_{n} \rightarrow_{P} X $ en probabilidad es equivalente a la afirmación $ P(A_n) \rightarrow 0. $ Lamentablemente, no consigo entender cómo es esto. Tengo el siguiente argumento:

Por definición $ X_n \rightarrow_{P} X $ implica para cada $ \epsilon > 0 $ , $$ \lim_{n \rightarrow \infty}P[ \omega \in \Omega: |X_{n}-X|\geq \epsilon ] = \lim_{n \rightarrow \infty}P[w \in \Omega: 1_{A_n}\geq \epsilon]=0.$$ Entonces, para cada $ n \in \mathbb{N} $ y cada $ \omega \in [1_{A_n}\geq \epsilon] $ tenemos que $\omega$ satisface $$1_{A_n}(\omega) \geq \epsilon $$ por cada $\epsilon \geq 0$ . En particular, si tomamos $ \epsilon > 1 $ entonces para no $\omega $ puede ser correcta la desigualdad anterior, así $[1_{A_n}\geq \epsilon ] \neq A_n $ ya que esto requeriría que $1_{A_{n}}=1$ .

¿Qué está pasando aquí? Le agradezco mucho cualquier ayuda.

Answer 1

Para $0<\epsilon\leq1$ nos encontramos con que: $$1_{A_n}(\omega)\geq\epsilon\iff\omega\in A_n$$ para que: $$\{\omega\in\Omega\mid 1_{A_n}(\omega)\geq\epsilon\}=A_n$$ y $$P(\{\omega\in\Omega\mid 1_{A_n}(\omega)\geq\epsilon\})=P(A_n)$$

Para $\epsilon>1$ nos encontramos con que: $$\{\omega\in\Omega\mid 1_{A_n}(\omega)\geq\epsilon\}=\varnothing$$ para que $$P(\{\omega\in\Omega\mid 1_{A_n}(\omega)\geq\epsilon\})=P(\varnothing)=0$$

Así que, aparentemente, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• $\lim_{n\to\infty}P(A_n)=0$
• $\lim_{n\to\infty}P(\{\omega\in\Omega\mid 1_{A_n}(\omega)\geq\epsilon\})=0\text{ for every }\epsilon>0$