Exponencial matricial de una matriz asimétrica sin expansión en serie

Question

Tengo la siguiente matriz asimétrica

$$C = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}$$

¿Cómo puedo calcular $e^{C}$ sin recurrir a la expansión en serie de $e^{C}$ ? ¿Debo obtener una expresión finita para ello?

Nota: Los valores de $a_i$ s no se pueden cambiar.

Answer 1

Dejemos que $x = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ . Puede comprobar que $C^3 = -(a_1^2+a_2^2+a_3^2)C = -x^2C$ .

Por lo tanto, $C^{2m+1} = (-1)^mx^{2m}C$ y $C^{2m} = (-1)^{m-1}x^{2m-2}C^2$ .

Por lo tanto, $e^C = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}C^n = I + \sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2m+1)!}C^{2m+1} + \sum_{m=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2m)!}C^{2m}$

$= \displaystyle I + \sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^mx^{2m}}{(2m+1)!}C + \sum_{m=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{m-1}x^{2m-2}}{(2m)!}C^{2}$

$= \displaystyle I + \dfrac{1}{x}\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^mx^{2m+1}}{(2m+1)!}C - \dfrac{1}{x^2}\sum_{m=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{m}x^{2m}}{(2m)!}C^{2}$

$= I + \dfrac{\sin x}{x}C + \dfrac{1-\cos x}{x^2}C^2$

Answer 2

Una prueba geométrica.

$C$ es la matriz de $u\in \mathbb{R}^3\rightarrow a\times u$ donde $a=[a_1,a_2,a_3]^T$ . $\exp(C){\exp(C)}^T=I$ y $\det(\exp(C))>0$ Entonces $\exp(C)\in O^+(3)$ , es decir, una rotación $\exp(C)=R=Rot(\Delta,\theta)$ . Tenga en cuenta que $Ca=0$ implica $Ra=a$ y $\Delta$ es la línea orientada definida por $a$ .

Después de algunos cálculos, $Trace(R)=1+2\cos(\theta)=1+2\cos(||a||)$ . Además, dejemos que $b=[a_2,-a_1,0]^T$ ( $b$ es ortogonal a $a$ ) ; obtenemos $\dfrac{1}{{a_1}^2+{a_2}^2}||b\times Rb||=\sin(||a||)$ . Conclusión $\theta=||a||$ .