Encontrar la densidad del valor más pequeño de una muestra

Question

Dejemos que $X_1, X_2,..., X_n$ sea una muestra aleatoria de una población infinita con función de densidad $f(x)$ y la función de distribución $F(x).$ Dejemos que $Y_{(1)}$ sea el valor más pequeño de la muestra (el estadístico de primer orden). Exprese la densidad de $Y_{(1)}$ en términos de $n, f,$ y $F.$ Esto es para un problema de deberes.

Sé que quiero utilizar el método de la función de distribución para resolver esto.

$P(Y_{(1)}\le y)= 1 -P(Y_{(1)}\gt y)$

$= 1 -P(X_1,X_2,...X_n\gt y)$

$= 1 -P(X_1\gt y)P(X_2\gt y)\ ...P(X_n\gt y)$

$= 1 - [F(y)]^n $

¿Ahora a dónde voy desde aquí?

Answer 1

Casi lo tienes, excepto que la última línea debería decir $1 - (1-F(y))^n$ porque las probabilidades $\Pr[X_i > y]$ son supervivencia probabilidades nótese la dirección de la desigualdad. A continuación, toma la derivada del resultado, que te da una densidad.

Answer 2

Tenga en cuenta que queremos $$1-\Pr(X_1\ge y)\Pr(X_2\ge y)\cdots \Pr(X_n\ge y).$$ Como nuestra distribución es continua, $\Pr(X_i=y)=0$ y por lo tanto $$\Pr(X_i\ge y)=1-\Pr(X_i\le y)=1-F(y).$$ Se deduce que la fdc de nuestra variable aleatoria es $1-(1-F(y))^n$ .

Diferenciar. Por la regla de la cadena, la densidad es $nf(y)(1-F(y))^{n-1}$ .