Demostrar que todo elemento idempotente no es nilpotente.

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo. Demostrar que todo elemento idempotente no es nilpotente.

Tengo un problema para probar esta pregunta. Estaría agradecido si alguien me ayudara.

Answer 1

Definiciones: si $x\in R$ y $R$ es un anillo, entonces decimos que un elemento es idempotente si $x^2 = x$ y nilpotente si para algunos $n\in\mathbb N: x^n=0$ .

Ahora, supongamos que $x$ es distinto de cero e idempotente. Nótese que $x^3 = x x^2 = xx = x^2 = x$ . ¿Qué podemos decir en general sobre $x^n$ ?