Integral compleja $\int_C{e^{z^3}z^2}dz$ sobre una curva parametrizada $z(t)=t+t^{10}i$

Question

Calcula $\int_C{e^{z^3}z^2}dz$ donde C viene dado por $z(t)=t+t^{10}i$ , donde $t\in [0,1]$ .

Creo que esto es más fácil de lo que lo estoy haciendo, pero ¿podemos hacer una sustitución en u en esto, y luego integrar el $e^u \,du$ ¿o es más complicado de lo que pienso? He estado pensando mucho en este tipo de problemas y no sé por qué.

Answer 1

En la medida en que la antiderivada de $z^2e^{z^3}$ es $\frac13 e^{z^3}$ tenemos

$$\begin{align} \int_C z^2e^{z^3}\,dz&=\left.\left(\frac13e^{z^3}\right)\right|_{z=0}^{z=1+i}\\\\ &=\frac13 \left(e^{(1+i)^3}-1\right) \end{align}$$

Y puedes simplificar.