Demostrar que $sw(X) \leq nw(X)$

Question

Estoy leyendo el artículo de Hodel sobre las funciones cardinales en "Handbook of Set-Theoretic Topology", y afirma el siguiente resultado sobre las funciones cardinales (he añadido las definiciones):

Para cualquier espacio topológico $X$ ,

$sw(X)$ es el cardinal más pequeño (infinito) $\kappa$ tal que existe una cubierta abierta separadora de $X$ de cardinalidad $\kappa$ , donde una cubierta $\mathcal{V}$ es separador si $\bigcap \{V \in \mathcal{V} \, : \, x \in V\} = \{x\}$ para todos $x \in X$ .

$nw(X)$ es el cardinal más pequeño (infinito) $\kappa$ tal que existe una red de cardinalidad como máximo $\kappa$ donde una colección $\mathcal{N}$ de subconjuntos de $X$ es una red si todos los conjuntos abiertos son uniones de miembros de $\mathcal{N}$ .

Entonces el resultado es que $sw(X) \leq nw(X)$ para $X$ a $T_2$ espacio.

No veo por qué esto se sostiene. La prueba probablemente será algún método para construir una cubierta abierta separadora de una red dada. Tengo el hecho de que cualquier red es una cubierta separadora de la $T_2$ propiedad, pero esto no me da necesariamente una cubierta abierta de separación. Tomar el interior de cada miembro de la red no funciona.

Answer 1

Dejemos que $\mathscr{N}$ sea una red para $X$ . Sea $\mathscr{P}$ sea la familia de pares $\{N_1,N_2\}\subseteq\mathscr{N}$ tal que $N_1\cap N_2=\varnothing$ y hay abiertos disjuntos $V_1,V_2$ tal que $N_1\subseteq V_1$ y $N_2\subseteq V_2$ . Para cada $P=\{N_1,N_2\}\in\mathscr{P}$ fijar tal par $Q_P=\{V_1,V_2\}$ de conjuntos abiertos, y dejemos que $\mathscr{V}=\bigcup_{P\in\mathscr{P}}Q_P$ Entonces $\mathscr{V}$ es una familia de conjuntos abiertos, y $|\mathscr{V}|\le|\mathscr{N}|$ .

Ahora dejemos que $x\in X$ . $X$ es Hausdorff, por lo que para cada $y\in X\setminus\{x\}$ hay conjuntos abiertos disjuntos $W_1$ y $W_2$ con $x\in W_1$ y $y\in W_2$ . $\mathscr{N}$ es una red para $X$ , por lo que hay $N_1,N_2\in\mathscr{N}$ tal que $x\in N_1\subseteq W_1$ y $y\in N_2\subseteq W_2$ . Sea $P=\{N_1,N_2\}$ claramente $P\in\mathscr{P}$ Así que $Q_P\subseteq\mathscr{V}$ . Sea $Q_P=\{V_1,V_2\}$ con $N_1\subseteq V_1$ y $N_2\subseteq V_2$ . Entonces

$$\bigcap\{V\in\mathscr{V}:x\in V\}\subseteq V_1\subseteq X\setminus\{y\}\;,$$

y $y\in X\setminus\{x\}$ era arbitraria, por lo que

$$\bigcap\{V\in\mathscr{V}:x\in V\}=\{x\}\;.$$

Así, $\mathscr{V}$ es una cubierta abierta de separación para $X$ de cardinalidad como máximo $|\mathscr{N}|$ y se deduce que $sw(X)\le nw(X)$ .