Ayuda para hacer un ejercicio sobre un criterio de afinidad de Hartshorne

Question

Hasta ahora he conseguido hacer todos los ejercicios de la sección 2 del capítulo 2 de geometría algebraica de Hartshorne, excepto la pregunta 2.16c. De hecho, incluso he mirado las soluciones de la misma y soy incapaz de seguirlas, así que realmente no sé por dónde empezar a dar un intento. El planteamiento de la pregunta es el siguiente:

Dejemos que $X$ sea un esquema y que $f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_{X})$ sea una sección global. Definir $X_{f}$ para ser el conjunto de puntos de $x \in X$ tal que el tallo $f_{x}$ de $f$ no está contenido en el ideal máximo $\mathfrak{m}_{x}$ del anillo local $\mathcal{O}_{X, x}$ .

En la parte (a) se pregunta: Si $U = \text{Spec} B$ es un subesquema afín abierto de $X$ y si $\tilde{f} \in B = \Gamma(U, \mathcal{O}_{X}|_{U})$ es la restricción de $f$ a $U$ entonces demuestre que $U \cap X_{f} = D(\tilde{f})$ . Concluir que $X_{f}$ es un subconjunto abierto de $X$ .

La parte (b) pregunta: Supongamos que $X$ es cuasi-compacto. Sea $A = \Gamma(X, \mathcal{O}_{X})$ y que $a \in A$ sea un elemento cuya restricción a $X_{f}$ est $0$ . Demuestre que para algunos $n>0$ , $f^{n}a = 0$ .

La parte (c) pregunta: Supongamos ahora que $X$ tiene una cobertura finita por afines abiertos $\{ U_{i} \}$ tal que cada intersección $U_{i} \cap U_{j}$ es cuasi-compacto. Sea $b \in \Gamma(X_{f}, \mathcal{O}_{X_{f}})$ . Demuestre que para algunos $n > 0$ , $f^{n}b$ es la restricción de un elemento de $A$ .

Sé que hay que utilizar el hecho de que las intersecciones de afines abiertos son cuasi-compactas y aplicar la parte (b), pero no he podido hacerlo realmente. Hay tres soluciones en línea que he estado mirando pero no han sido particularmente útiles, la mejor es aquí .

¿Alguien puede darme más detalles sobre cómo hacerlo?

Gracias

Answer 1

Me disculpo por la mala redacción de la pregunta, reconozco que estaba un poco apurado. Sin embargo, me gustaría publicar mi propia respuesta ahora que por fin lo he resuelto, así como arreglar la pregunta. Pensé que podría ser útil ya que me pareció muy perspicaz y las soluciones en línea parecen carecer de muchos detalles.

Supongamos que tenemos una cobertura finita $\{ U_{i} = \text{Spec} B_{i} \}$ para $X$ . Esto proporciona entonces una cubierta afín (por parte a) $\{ X_{f} \cap \text{Spec} B_{i} \}$ para $X_{f}$ . Sea $b \in \Gamma(X_{f}, \mathcal{O}_{X_{f}})$ . Denotemos la restricción de $f$ a $U_{i}$ por $f_{i}$ . Ya que, por la parte (a), $U_{i} \cap X_{f} = D(f_{i})$ para cada $i$ tenemos $$ b|_{X_{f} \cap U_{i}} = \frac{b_{i}}{f_{i}^{d_{i}}} \quad \text{with } b_{i} \in B_{i} . $$ Denote la restricción de $f_{i}$ a $ U_{i} \cap U_{j}$ por $f_{ij}$ . Entonces podemos escribir $$ b_{i}|_{X_{f} \cap U_{i} \cap U_{j}} = f_{ij}^{d_{i}} \left( b|_{X_{f} \cap U_{i} \cap U_{j}} \right). $$ Nótese que hemos abusado ligeramente de la notación: En $f_{ij}^{d_{i}}$ nos referimos a la restricción de ésta a $U_{i} \cap U_{j} \cap X_{f}$ . Entonces hay $$ f_{ij}^{d_{j}}b_{i}|_{X_{f} \cap U_{i} \cap U_{j}} - f_{ij}^{d_{i}}b_{j}|_{X_{f} \cap U_{i} \cap U_{j}} = \left( f_{ij}^{d_{i}+d_{j}} - f_{ij}^{d_{j}+d_{i}} \right) \left( b|_{X_{f} \cap U_{i} \cap U_{j}} \right) = 0. $$ Pero la sección anterior es precisamente la restricción de la sección $$ a_{ij}:=f_{ij}^{d_{j}+d_{i}} b_{i}|_{U_{i} \cap U_{j}} - f_{ij}^{d_{i}+d_{j}}b_{j}|_{U_{j} \cap U_{j}}. $$ Así que por la parte (b) de la pregunta, ya que $U_{i \cap U_{j}}$ es cuasi-compacto, hay algún número entero $N_{ij}$ tal que $f_{ij}^{N_{ij}}a_{ij} = 0$ . Dado que sólo hay un número finito de $U_{i}$ podemos elegir el mayor $N_{ij}$ que llamaremos $M$ . Entonces, para cualquier intersección $U_{i} \cap U_{j}$ de conjuntos abiertos afines en la cubierta, se sostiene $$ f^{M}a_{ij} = f_{ij}^{d_{j}+d_{i}+M} b_{i}|_{U_{i} \cap U_{j}} - f_{ij}^{d_{i}+ d_{j}+M} b_{j}|_{U_{i} \cap U_{j}} = 0. $$ Esto sigue dependiendo de la $i, j$ . Sin embargo, como sólo hay un número finito de ellas, podemos definir $$ d:= \sum_{i} d_{i} $$ de manera que para cualquier intersección $U_{i} \cap U_{j}$ de conjuntos abiertos afines en la cubierta, se sostiene, $$ f^{M}a_{ij} = f_{ij}^{d+M} b_{i}|_{U_{i} \cap U_{j}} - f_{ij}^{d+M} b_{j}|_{U_{i} \cap U_{j}} = 0. $$ En otras palabras, en la intersección $U_{i} \cap U_{j}$ Tenemos el acuerdo $$ f_{ij}^{d+M} b_{i}|_{U_{i} \cap U_{j}} = f_{ij}^{d+M} b_{j}|_{U_{i} \cap U_{j}}. $$ Por la propiedad de encolado para las láminas, esto nos permite encolar a través de la cubierta afín tal que $$ f^{M+d}b = 0, $$ lo que completa la prueba.