La prueba de que un integrante de dominio que es finito-dimensional $F$-espacio vectorial es de hecho un campo de

Question

Estoy leyendo la Teoría de Galois por Steven H. Weintraub (segunda edición), y el hallazgo de que estoy un poco corto de los requisitos previos. Sin embargo, la siguiente prueba se ve mal para mí - estoy malentendido algo, o es en realidad una incorrecta de la prueba?

Lema 2.2.3. Deje $F$ ser un campo y $R$ un integral de dominio que es un finito-dimensional $F$-espacio vectorial. A continuación, $R$ es un campo.

Prueba. Tenemos que mostrar que cualquier distinto de cero $r \in R$ tiene una inversa. Considere la posibilidad de $\{1, r, r^2, \cdots\}$. Este es un conjunto infinito de elementos de $R$, y por hipótesis de $R$ es finito dimensionales como una $F$-espacio vectorial, por lo que este conjunto es linealmente dependiente. Por lo tanto $\sum_{i=0}^n{c_i r^i} = 0$ algunos $n$ y algunos $c_i \in F$ no todos los cero. [...]

A continuación, se muestran, por ejemplo, la de que podemos derivar una inversa de a $r$.

Sin embargo, si considero que ejemplos como el de $r = 2 \in Q[\sqrt{2}]$, $r = \sqrt{2} \in Q[\sqrt{2}]$ o $r = 2 \in Q[X]/{<X^2>}$, la $\{1, r, r^2, ...\}$ no se ve linealmente dependiente de mí.

Yo creo que el lema es cierto (y podría incluso ser capaz de demostrarlo), pero esto no se ve como una correcta prueba para mí. Me estoy perdiendo algo?

[Editar] Bueno, sí, yo soy. De alguna manera me las había arreglado para descartar la posibilidad de cualquier $c_i$ siendo negativo, a pesar de repetidas buscando en cada fragmento del texto citado en un intento de encontrar lo que podría ser malentendido.

Answer 1

Weintraub 15 de la línea de prueba es correcta, pero torpe. Aquí es un 2-la línea de la prueba:

Dado $0\neq r\in R$ $F$-lineal mapa de $R\to R:x\mapsto rx$ es inyectiva ($R$ es integral!), por lo tanto surjective ( $R$ es finito-dimensional!). Por lo $1$ es la imagen de algunos de los $s\in R$, es decir, sr=1 y por lo $s=r^{-1}$ pertenece a $R$.

Answer 2

Otra solución fácil:

Desde $R$ es finito dimensionales más de $F$, $\{1,r,r^{2},...,r^{n}\}$ es lineal y dependiente de conjunto para algunos finito $n$$F$. En particular, si $r \neq 0$$r \in R$, $a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_{0} =0$ tiene una solución no trivial donde cada una de las $a_{i} \in F$. Si $a_{0}=0$ $a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_{1}r=0 \implies r(a_{n}r^{n-1}+a_{n-1}r^{n-2}+...+a_{1})=0 \implies a_{n}r^{n-1}+a_{n-1}r^{n-2}+...+a_{1}=0$ desde $R$ es una parte integral de dominio. Si $a_{1}=0$ repita el paso anterior. Claramente este proceso se terminará una vez que llegamos a algunos distinto de cero $a_{i}$. Por lo tanto, podemos asumir WLOG que $a_{0} \neq 0$. Pero, a continuación, $a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_{0} =0 \implies a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+...a_{1}r=-a_{0} \implies b_{n}r^{n}+b_{n-1}r^{n-1}+...+b_{1}r=r(b_{n}r^{n-1}+b_{n-1}r^{n-2}+...+b_{1}) =1$ donde $b_{i}=-a^{-1}_{0}a_{i}$, mostrando que el $r$ tiene una inversa en $R$.

Answer 3

$\{1,2,4,8,\ldots\}$ sin duda $\mathbb{Q}$-linealmente dependiente en $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$; de hecho, es linealmente dependiente en $\mathbb{Q}$ ya! $0 = 2(1) -1(2)$, con los elementos entre paréntesis están los vectores. Así que este es un trivial combinación lineal de los vectores en el conjunto, que es igual a $0$.

Para $\sqrt{2}$, el conjunto es $\{1,\sqrt{2},2,2\sqrt{2},4,\ldots\}$. De nuevo, esto es $\mathbb{Q}$-linealmente dependientes, ya que $0 = 2(1) + 0(\sqrt{2}) -1(2)$. De nuevo, este es un trivial combinación lineal de los vectores en el conjunto, que es igual a $0$.

¿Qué es lo que hace que se vea "no dependiente"?