Radio de cobertura y códigos binarios de peso par

Question

Se tropezó con la declaración: "si perforamos un código binario de peso par el radio de cobertura disminuye en uno" Pero estoy teniendo algunas dificultades para probarlo.

Sobre todo porque no veo dónde entra en juego el peso uniforme de las palabras clave. He podido demostrar que la perforación de un código binario no cambiaría necesariamente el radio de cobertura con un ejemplo, pero no puedo demostrar dicha afirmación. ¿Me estoy perdiendo un paso obvio?

Answer 1

Dejemos que $\mathcal{C}$ sea su código (de longitud $n$ ), y que $\rho$ sea su radio de cobertura. A cada vector $x\in\Bbb{F}_2^n$ dejar $d_{\mathcal{C}}(x)$ sea la mínima distancia Hamming de una palabra clave de $\mathcal{C}$ a $x$ . De ello se desprende que $$\rho=\max\{d_{\mathcal{C}}(x)\mid x\in\Bbb{F}_2^n\}.$$

Dejemos que $\mathcal{C}'$ sea el código perforado. Del mismo modo, para todos los $x\in\Bbb{F}_2^n$ dejar $x'$ sea el correspondiente vector perforado. Consideremos un vector $y\in\Bbb{F}_2^{n-1}$ .

Justifica lo siguiente:

• Hay dos vectores, $x$ y $\overline{x}$ , difiriendo en la posición de perforación, tal que $x'=y=\overline{x}'$ .
• Los pesos de $x$ y $\overline{x}$ tienen paridades opuestas.
• Porque todas las palabras de $\mathcal{C}$ tienen un peso uniforme, las distancias $d_{\mathcal{C}}(x)$ y $d_{\mathcal{C}}(\overline{x})$ también tienen paridades opuestas.
• Por lo tanto, o bien $d_{\mathcal{C}}(x)$ o $d_{\mathcal{C}}(\overline{x})$ est $\le\rho-1$ .
• Por lo tanto, $d_{\mathcal{C'}}(y)\le\rho-1$ . En otras palabras, el radio de cobertura de $\mathcal{C}'$ es como máximo $\rho-1$ .
• Pero si $d_{\mathcal{C}}(x)=\rho$ entonces $d_{\mathcal{C'}}(x')\ge\rho-1$ por lo que el radio de cobertura de $\mathcal{C'}$ es exactamente $\rho-1$ .