Casos especiales de intersección de una función y su inversa (Solicitud de referencia)

Question

Tengamos una función invertible $f$ . Consideremos la intersección de esta función y su inversa. Se cumple lo siguiente:

1) Si $f$ es estrictamente creciente, entonces los puntos de intersección se encuentran en la $y=x$ lo que significa que se podría escribir: $f(x)=f^{-1}(x)\Leftrightarrow f(x)=x$

2) Si $f$ es estrictamente decreciente e impar, entonces los puntos de intersección se encuentran en la $y=-x$ lo que significa que se podría escribir: $f(x)=f^{-1}(x)\Leftrightarrow f(x)=-x$

3) Si $g(x)=x+f(x)$ es uno a uno, entonces los puntos de intersección se encuentran en la $y=x$ lo que significa que se podría escribir: $f(x)=f^{-1}(x)\Leftrightarrow f(x)=x$

¿Existe algún recurso en línea (no libros, sino artículos, libros electrónicos gratuitos, etc.) donde se mencione cada uno de ellos? No he podido encontrar ningún recurso que contenga todos los resultados matemáticos mencionados.

Answer 1

El gráfico de $f^{-1}$ se puede obtener reflejando el gráfico de $f$ en la línea $\DeclareMathOperator{id}{id}\id: y=x$ . Por lo tanto, a menos que el gráfico de $f$ tiene puntos en la gráfica de $\id$ o en ambos lados de la gráfica de $\id$ los gráficos de $f$ y $f^{-1}$ no se cruzarán, ya que $f$ se limita a un lado y $f^{-1}$ se limita al otro lado.

Por ejemplo $f(x) = x - 1$ que es estrictamente creciente y $f^{-1}(x) = x + 1$ . O $f(x) = \ln(x)$ . El conjunto de intersección está vacío en ambos casos.

Teorema 1) hacer afirmaciones sobre los puntos de intersección en estos casos no es útil.

No conozco ningún recurso donde se mencionen estos teoremas. Podríamos tratar de probar / refutarlos aquí.