El extenso artículo de Borel en los Anales de 1953 es esencialmente su tesis de París de 1952. A éste le siguieron seguido por el trabajo de Bott, Samelson, Kostant y otros, que finalmente responde a su pregunta lateral de forma afirmativa. Para un relato moderno y legible en el entorno de grupos algebraicos complejos en lugar de grupos compactos, trate de localizar una copia de las notas de la conferencia: MR649068 (83h:14045) 14M15 (14D25 20F38 57N99 57T15) Hiller, Howard, Geometría de grupos Coxeter. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-Londres, 1982. iv+213 pp. ISBN 0-273-08517-4. (Se basa en su curso de 1980 en Yale. Eventualmente dejó las matemáticas para trabajar en Citibank). La identificación del anillo de cohomología con el álgebra coinvariante del grupo de Weyl ha seguido siendo importante para cuestiones algebraicas y geométricas algebraicas y geométricas, por ejemplo en los trabajos de Beilinson-Ginzburg-Soergel. Aunque las notas de Hiller no son totalmente autocontenidas, están escritas de forma muy útil. (Pero nótese que su breve tratamiento de los grupos de Coxeter tiene una importante laguna lógica).
AÑADIDO: En las notas de Hiller, el capítulo III (Geometría de los Grassmanianos) es el más relevante. Para las conexiones con la cohomología del álgebra de Lie, el artículo clásico es: MR0142697 (26 #266) 22.60 (17.30) Kostant, Bertram, Cohomología del álgebra de Lie y células de Schubert generalizadas. Ann. of Math. (2) 77 1963 72-144. Nada en este rico círculo de ideas puede hacerse rápido y fácil; mucho depende de lo que ya se sabe.
P.D. Tenga en cuenta que Hiller tiende a dar detalles explícitos sólo para el grupo lineal general y los grassmanianos, pero también señala cómo funcionan los principales resultados en general, con referencias. No conozco un libro de texto más moderno referencia para este trabajo relativamente antiguo. Pero la conexión intuitiva entre la imagen de Borel y la imagen de cohomología de Bott/Kostant es más o menos esta: La subálgebra de Lie abarcada por los vectores raíz negativos desempeña el papel de espacio tangente a la variedad/múltiple de la bandera. En el enfoque de la cohomología del álgebra de Lie se obtiene una imagen graduada explícita para cada grado en términos del número de elementos en el grupo de Weyl de una longitud fija, mientras que la descripción de Borel en términos de coinvariantes del grupo de Weyl hace que la estructura algebraica de la cohomología es más transparente. (Lo que no sé es si se puede derivar una prueba más sencilla del teorema de Borel utilizando la cohomología del álgebra de Lie).
En cuanto a la relación entre $K/T$ y $G/B$ Esto se remonta a la trabajo en torno a 1950 sobre la topología de los grupos de Lie (Iwasawa, Bott, Samelson): toda la topología de un grupo de Lie conectado y simplemente conectado proviene de un subgrupo compacto máximo. Por lo tanto, las dos versiones de la variedad de banderas son homeomórficas. En épocas posteriores, el énfasis se ha desplazado a menudo al tratamiento de $G$ como un grupo algebraico complejo, de modo que $G/B$ es una variedad proyectiva. Para mí la literatura es difícil de compactar.
Una referencia más, que trata el teorema de Borel en un estilo semiexpositivo: MR1365844 (96j:57051) 57T10 Reeder, Mark (1-OK), Sobre la cohomología de los grupos de Lie compactos. Enseign. Math. (2) 41 (1995), no. 3-4, 181-200. Existe un acceso en línea ici .
