Teorema de Newton

Question

Para mi curso de Medida e Integración, se me ha pedido demostrar lo siguiente:

Sea $g$ una función que toma valores en $\Bbb{R_+}$, $f: \Bbb{R}^3 \to \Bbb{R}$ tal que $f(x) = g(|x|)$. Supongamos que $f \in L^1(\Bbb{R}^3, dx)$, y sea

$$ \Phi(x) = \int_{\Bbb{R}^3} \frac{f(y)}{|x-y|}dy. $$

Para todo $r=|x| > 0$,

a) Mostrar que $$\Phi(x) = \frac{4}{r}\int_0^r g(s)s^2\ \mathrm ds+ 4\pi\int_r^{\infty}g(s)s\ \mathrm ds.$$

b) Deducir que $$\Phi(x) = \int_{\Bbb{R}^3} \frac{f(y)}{max\{|x|,|y|\}}\mathrm dy.$$

c) Mostrar que $$\mu\{x: \Phi(x) > t\} < \infty\qquad\text{para todo }t>0,$$ donde $\mu$ denota la medida de Lebesgue

d) Concluir que $\Phi(x) = \Phi^*(x)$, donde $\Phi^*(x)$ es la reordenación simétrica decreciente de la función $\Phi(x)$.

Después de mucho tormento logré demostrar la parte a), pero estoy completamente atascado en las siguientes partes. ¡Cualquier consejo sería extremadamente bienvenido!

Answer 1

En la parte a, mostraste que $\Phi$ en sí es radial, depende solo de $r = |x|$. Por lo tanto, $\Phi(x)$ es igual a su valor promedio en la esfera de radio $|x|$.

Es decir.

$$ \Phi(x) = \frac{1}{4\pi |x|^2}\int_{|u|=|x|} \Phi(u) du $$ lo cual por Fubini es $$ = \frac{1}{4\pi |x|^2} \int_{\mathbb{R}^3}f(y) \int_{|u|=|x|} \frac{1}{|u-y|}du\, dy. $$

Esta integral interna es un cálculo estándar de una integral de superficie. Puedes ver su cálculo por ejemplo aquí Integral de superficie de $f(x) = \frac{1}{ \Vert x -x_0 \Vert } $ sobre una esfera. Entonces, la última línea es $$ \frac{1}{4\pi |x|^2} \int_{\mathbb{R}^3}f(y) \frac{{4\pi |x|^2}}{\max(|x|, |y|)} dy = \int_{\mathbb{R}^3}f(y) \frac{1}{\max(|x|, |y|)} dy $$ como se deseaba para la parte b.

Según la parte b, sabemos que cuando $x \to \infty$ el integrando tiende a $0$. Dado que los integrandos con $|x|>1$ están dominados por el integrando con un $x_0$ fijo en la esfera unitaria, podemos aplicar la convergencia dominada para ver que $\Phi \to 0$ cuando $|x| \to \infty$ (importante que $f \in L^1$ aquí). Esto obviamente implica la parte c ya que la medida en cuestión está dominada por la de una bola grande.

Para la parte d, simplemente nota que $\Phi$ es simétrica por b, y claramente decreciente en $|x|$ por c, por lo que es su propia reorganización simétrica decreciente.