SL(2,5) y SL(2,11)

Question

Hay un problema en mi libro de texto que es el siguiente ¿Por qué el grupo finito $SL(2,5)$ es isomorfo a un subgrupo de $SL(2,11)$ ? Gracias por las respuestas

Answer 1

Vamos a dar un poco más de explicación aquí. En primer lugar, $SL(2,5)$ puede presentarse como $<x,y,z|o(x)=5,o(y)=3,o(z)=2,xz=zx,yz=zy,(xy)^2=z>$ . (Véase Passman, Grupos de Permutación Prop. 13.7). Esto puede realizarse sobre cualquier campo de característica $0$ o mayor que $5$ que tiene raíces cuadradas de -1 y de 5 mediante $Y=\begin{pmatrix} -1&1\\ -1 & 0 \\\end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix} 0&\sqrt{-1}\\ \sqrt{-1}&\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\\end{pmatrix}$ .

Para el resto de este artículo, tenga en cuenta que $p$ denota un primo mayor que $5$ y $q$ una potencia de un primo mayor que $5$ . No pretendo discutir el caso modular donde la característica del campo divide $|SL(2,5)|$ .

Así, si $p>5$ entonces $SL(2,5)$ es un subgrupo de cualquier $SL(2,p^{2n})$ desde $\Bbb{F}_{p^{2n}}$ contiene las raíces cuadradas necesarias.

También es suficiente tener una quinta raíz de la unidad (pero no es necesario.... por ejemplo, $\Bbb{F}_{49}$ ). En ese caso puede tomar $x=\begin{pmatrix} a&1\\ 0&a^{-1}\\\end{pmatrix}$ y $y=\begin{pmatrix} 0&a^{-1}\\ -a&-1 \\\end{pmatrix}$ con $a$ una quinta raíz primitiva de la unidad. Dado que $5$ divide $10=11-1$ por eso $SL(2,11)$ tiene un $SL(2,5)$ subgrupo. Estos mismos métodos exhiben $SL(2,5)$ como un subgrupo de $SL(2,31)$ , $SL(2,41)$ , $SL(2,61)$ , $SL(2,71)$ etc., por lo que es un poco simplista decir que $SL(2,5)$ es un subgrupo de $SL(2,11)$ sólo "porque puede".

Es necesario tener una raíz cuadrada de $5$ ya que aparece en la tabla de caracteres de cualquier $2$ -representación compleja de $SL(2,5)$ . Más sencillamente, tener una raíz cuadrada de $5$ en $\Bbb{F}_q$ también (por reciprocidad cuadrática y teoría de Galois) ocurre, si $q$ es una potencia impar de $p>5$ para que sea equivalente a $q\equiv\pm1\pmod5$ que es necesario para $5$ para dividir $|SL(2,q)|=(q-1)q(q+1)$ . Basta con tener una raíz quinta de la unidad O tener raíces cuadradas de $-1$ y de $5$ . Ninguno de estos dos últimos es necesario. El problema más difícil es si $SL(2,5)$ es un subgrupo de $SL(2,p)$ para $p\equiv 19\pmod{20}$ , los primos para los que $\Bbb{F}_p$ tiene raíces cuadradas de $5$ pero tampoco las raíces cuadradas de $-1$ ni la quinta raíz de la unidad. Esta referencia muestra que la respuesta es positiva para $p\equiv19\pmod{20}$ : https://www.staff.ncl.ac.uk/o.h.king/KingBCC05.pdf ya que $A_5\equiv PSL(2,5)$ como un subgrupo de $PSL(2,q)$ implica $SL(2,5)$ es un subgrupo de $SL(2,q)$ .

Así, para $\Bbb{F}_q$ de característica mayor que $5$ , $SL(2,5)$ se incrusta en $SL(2,\Bbb{F}_q)$ si y sólo si $q\equiv\pm 1\pmod{10}$ .

Answer 2

Yo diría que porque se puede. El subgrupo de $SL(2,11)$ generado por $\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1 & 0 \\\end{pmatrix} $ y $\begin{pmatrix} 3 &1\\ 0 & 4 \\\end{pmatrix}$ es isomorfo a $SL(2,5)$