En una competición de $45$ personas, ¿cuántas recibieron medallas en exactamente dos categorías?

Question

Antecedentes

He estado aprendiendo los fundamentos de la teoría de conjuntos y esta es una referencia a Matemáticas y estadísticas empresariales por Asim Kumar Manna, sección 2.56:

En una competición, un colegio concede medallas en diferentes categorías. $36$ medallas en danza, $12$ medallas en teatro y $18$ medallas en la música. Si estas medallas fueran para un total de $45$ personas y sólo $4$ la gente tiene medallas en las tres categorías, ¿cuántos recibieron medallas en exactamente dos de estas categorías?

Mi intento

Dejemos que $A$ = conjunto de personas que obtuvieron medallas en danza.
$B$ = conjunto de personas que obtuvieron medallas en teatro.
$C$ = conjunto de personas que obtuvieron medallas en música.

Dada,

$n(A) = 36$
$n(B) = 12$
$n(C) = 18$
$n(A \cup B \cup C) = 45$
$n(A \cap B \cap C) = 4$

Sabemos que el número de elementos que pertenecen exactamente a dos de los tres conjuntos $A, B, C$

$= n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C) - 3n(A \cap B \cap C)$
$= n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C) - 3 \times 4 \dots(i)$
$=n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

Por lo tanto,

$n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C) = n(A) + n(B) + n(C) + n(A \cap B \cap C) - n(A \cup B \cup C)$

Desde $(i)$ número requerido

$= n(A) + n(B) + n(C) + n(A\cap B \cap C) - n(A \cup B \cup C) - 12$
$= 36 + 12 + 18 + 4 - 45 - 12$
$= \boxed{13}$

13 medallas recibidas. ¿Hay una forma mejor de hacerlo? ¿Es este proceso sucinto?

Answer 1

En palabras

• Había $36+12+18 =66$ medallas
• $45$ equipos ganaron al menos una
• saliendo de $66-45=21$ medallas adicionales
• de los cuales $4\times(3-1)=8$ eran medallas adicionales para los equipos que ganaban tres partidos
• saliendo de $21-8=13$ medallas adicionales para los equipos que ganen dos partidos
• por lo que había $13$ equipos que ganan exactamente dos partidos

Como ecuaciones, si $m_1$ Los equipos ganaron una medalla, $m_2$ equipos ganaron dos medallas y $m_3$ equipos ganaron tres medallas entonces

• $m_1+m_2+m_3 = 45$
• $m_1+2m_2+3m_3=36+12+18$
• $m_3=4$

que son tres ecuaciones lineales en tres incógnitas, con la solución única $m_1=28, m_2=13, m_3=4$ y la pregunta pide $m_2$

Answer 2

Su análisis del conjunto parece sólido. Hay un pequeño atajo disponible, ya que sabemos que la población ganadora total está siendo sobrecontada por los recuentos de medallas de la categoría debido a los que ganaron múltiples medallas.

Dado el total de medallas de $36+12+18=66$ sabemos que también podríamos expresar este recuento total de medallas como $M_1 + 2M_2 + 3M_3 = 66$ , donde $M_i$ es el número de personas que han ganado $i$ medallas.

Entonces también sabemos que el número de medallistas $M_1 + M_2 + M_3 = 45$ ,

Así que restando, $M_2+2M_3 = 21$ y por supuesto $M_3 = 4$ dando el resultado consistente $M_2 = 13$