Estoy tratando de seguir la simplificación de un libro de texto de una respuesta, pero no puedo entender el siguiente paso. ¿Por qué esta serie suma de la siguiente manera? $$\left(\frac12\right)^2 + \left(\frac12\right)^4 + \left(\frac12\right)^6 + ... = \left(\frac12\right)^2\left(\frac{1}{1-\left(\frac12\right)^2}\right) = \frac{1}{3}$$ No veo por qué la serie se simplifica de esta manera.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
SUGERENCIA: Deja que $$S=\frac1{2^2}+\frac1{2^4}+\frac1{2^6}+\cdots$$
$$\implies 4S=1+\frac1{2^2}+\frac1{2^4}+\frac1{2^6}+\cdots$$
Sobre la sustracción, $4S-S=1$
Alternativamente,
De hecho, este es un infinitas series geométricas con el primer término $\frac1{2^2}$ y la relación común $=\frac1{2^2}$
Así, la suma $$=\frac{\frac1{2^2}}{1-\frac1{2^2}}$$
