"teorías psi-epistémicas" en 3 o más dimensiones

Question

En su reciente documento El estado cuántico puede interpretarse estadísticamente Lewis et al. terminan con una pregunta matemática muy bonita, cuya respuesta (en cualquier caso) tendría interesantes implicaciones para los fundamentos de la mecánica cuántica. Con la esperanza de que algunas personas que no son matemáticos cuánticos se interesen por su pregunta -y tal vez incluso encontrar a alguien que diga "la respuesta es trivial por la siguiente razón..." :-)- decidí plantear la pregunta para la comunidad de la MO, despojada de toda la física y la filosofía.

Sea H _d sea el conjunto de vectores unitarios en $\mathbb{C}^d$ . A ψ-teoría epistémica en d dimensiones consiste en lo siguiente:

1. Un espacio medible Λ (llamado "espacio de estados ónticos").
2. Una función que mapea cada vector unitario ψ∈H _d a una medida de probabilidad D _ψ sobre Λ.
3. Una función f(λ,M,i)∈[0,1], que toma como entrada un estado óntico λ∈Λ, una base ortonormal ordenada M=(v ₁ ,...,v _d ) para $\mathbb{C}^d$ y un índice i∈{1,...,d}.

f debe satisfacer las dos condiciones siguientes:

(i) $\sum_{i=1}^{d}f(\lambda,M,i)=1$ para todo λ y M. (Intuitivamente, f debe dar lugar a una distribución de probabilidad sobre los "resultados de la medición" v ₁ ,...,v _d en M.)

(ii) $\int_{\lambda \sim D_{\psi}} f(\lambda,M,i) d\lambda = |v_{i}^{*}\psi|^{2}$ para todo ψ, M, e i. (Intuitivamente, la probabilidad del resultado de la medición v _i , promediado sobre todas las λ extraídas de D _ψ debe ser igual a la proyección al cuadrado de ψ sobre v _i .)

Nótese que podemos satisfacer trivialmente las condiciones (i) y (ii) de la siguiente manera:

• Λ=H _d
• D _ψ asigna la probabilidad 1 a λ=ψ, y la probabilidad 0 a todos los demás estados de Λ
• f(ψ,M,i) = |v _i * ψ| 2

Así, dejemos que Supp(D)⊆Λ sea el soporte de D, y llamemos a una teoría ψ-epistémica no trivial si existe ψ≠ϕ tal que $Supp(D_{\psi})\cap Supp(D_{\phi}) \ne \emptyset$ .

Obsérvese que, si ψ y ϕ son ortogonales, entonces Supp(D _ψ ) y Supp(D _ϕ ) deben ser disjuntos. Esto se debe a que, si establecemos v ₁ \=ψ y v ₂ \=ϕ, entonces $v_{1}^{*}\psi = v_{2}^{*}\phi = 1$ y $v_{1}^{*}\phi = v_{2}^{*}\psi = 0$ lo que no es posible si D _ψ y D _ϕ tienen un solapamiento no nulo. Motivado por esta observación, llama a una teoría máximo no trivial si $Supp(D_{\psi})\cap Supp(D_{\phi}) \ne \emptyset$ siempre que ψ y ϕ sean no ortogonal.

Ahora puedo plantear el problema abierto de Lewis et al:

¿Existe una teoría ψ-epistémica máximamente no trivial en dimensiones d≥3?

Actualización: Ver en los comentarios una solución extremadamente buena de George Lowther, además de mis preguntas de seguimiento.

Conozco dos resultados directamente relacionados con este problema.

En primer lugar, existe una teoría máximamente no trivial en dimensión d=2, que fue encontrada por Kochen y Specker en 1967. Véase este documento de Rudolph para más detalles, incluyendo por qué las generalizaciones obvias a 3 o más dimensiones parecen fallar. Brevemente, la teoría de Kochen-Specker se define como sigue:

• Λ=H ₂ .
• D _ψ asigna una medida de probabilidad $2 | \psi^{\*} \phi|^{2} - 1$ a ϕ si $| \psi^{\*} \phi|^{2} \geq 1/2$ , y medida de probabilidad 0 a ϕ en caso contrario.
• f(ψ,M,i) = 1 si $|v_{i}^{\*} \psi|^{2} \geq 1/2$ y f(ψ,M,i) = 0 en caso contrario.

(Advertencia: He convertido a partir de una representación diferente, y no puedo prometer que no me haya equivocado en un factor de 2 o algo así).

El segundo resultado es que, para todo d finito, existe una teoría ψ-epistémica no trivial (aunque está lejos de ser máximamente no trivial). Este es el principal resultado de Lewis et al.

Mi opinión es que las teorías máximamente no triviales no existen para d≥3, pero sólo le daría un 60% de confianza.

Para anticiparse a algunas preguntas:

• Sí, también me interesaría este problema con $\mathbb{R}$ en lugar de $\mathbb{C}$ (aunque sospecho que los dos casos son bastante similares).

• Sí, me interesarían los resultados negativos para clases restringidas de teorías. Aquí hay algunos ejemplos de restricciones que uno podría mirar, en varias combinaciones: Λ=H _d f∈{0,1}, f es continua, simetría bajo transformaciones unitarias, simetría bajo reetiquetado de los v _i 's.

• No, no sé cómo descartar que la respuesta pueda depender del Axioma de la Elección o alguna locura por el estilo (pero lo dudo).

Actualización (20 de marzo de 2013): Adam Bouland, Lynn Chua, George Lowther y yo mismo ahora tiene un documento sobre las teorías epistémicas originado en este puesto de MO. El artículo contiene la construcción de abajo, pero también demuestra resultados de imposibilidad para teorías ψ-epistémicas cuando se impone una condición de simetría adicional.

Answer 1

Como parece que George Lowther trasnocha mucho, decidí expresarle mi gratitud redactando yo mismo su encantadora respuesta y ahorrándole así la molestia.

La respuesta a mi pregunta (y a la de Lewis et al.) es que sí, existen teorías ψ-epistémicas máximamente no triviales para toda dimensión finita $d$ .

La primera realización es que podemos "mezclar" pequeñas bolas ε alrededor de dos vectores no ortogonales cualquiera.

Lema 1: Dados dos vectores unitarios no ortogonales cualesquiera $\psi,\phi \in \mathbb{C}^d$ existe una teoría epistémica $T = T(\psi,\phi)$ tal que $Supp(D_{\psi})$ y $Supp(D_{\phi})$ tienen una intersección no vacía. Además, para este $T$ existe un $\epsilon \gt 0$ (por ejemplo, $\epsilon = |\psi^{*} \phi|/2d$ ) tal que $Supp(D_{\psi'})$ y $Supp(D_{\phi'})$ tienen una intersección no vacía para todo $\psi',\phi'$ tal que $||\psi - \psi'||,||\phi - \phi'||\lt \epsilon$ .

Prueba: Nuestro espacio de estado óntico será $\Lambda = H_{d} \times [0,1]$ . Dada una base ortonormal $M=(v_1,...,v_d)$ , primero clasifica el $v_i$ en orden decreciente de $min(|v_{i}^{∗}\psi|,|v_{i}^{∗}\phi|)$ . Entonces el resultado de la medición M sobre el estado ontico $(w,p)\in \Lambda$ será igual al menor número entero positivo $i$ tal que

$|v_1^* w|^2+...+|v_{i−1}^*w|^2 \le p \le |v_1^* w|^2+...+|v_i^*w|^2$ .

En otras palabras, $f((w,p),M,i)$ será igual a $1$ si $i$ satisface lo anterior y no $j \lt i$ lo hace, y $0$ de lo contrario. Por ahora, supongamos que $D_{w}$ es simplemente la distribución uniforme sobre todos los estados $(w,p)$ con $p \in [0,1]$ . Es fácil comprobar que esto da lugar a una teoría epistémica válida, aunque hasta ahora trivial.

Desde $|\psi^{*} \phi|\gt 0$ Afirmo que existe un $\epsilon \gt 0$ tal que para todas las bases ortonormales $M=(v_1,...,v_d)$ existe un $i$ tal que $|v_{i}^{∗}\psi|\ge \epsilon$ y $|v_{i}^{∗}\phi|\ge \epsilon$ . En efecto, por la desigualdad del triángulo, fijando $\epsilon := |\psi^{*} \phi| / d$ funcionará.

Ahora bien, lo anterior significa que, para todas las medidas $M$ y todos $p \in [0,\epsilon]$ el resultado es siempre $i=1$ cuando $M$ se aplica a cualquiera de los estados ónticos $(\psi,p)$ o $(\phi,p)$ . A través de Lewis et al. esto implica que podemos "mezclar" las distribuciones correspondientes $D_{\psi}$ y $D_{\phi}$ -es decir, que se crucen entre sí en la región $p \in [0,\epsilon]$ -sin afectar al resultado de ninguna medición $M$ .

Además, supongamos que $\psi'$ y $\phi'$ son $\epsilon /2$ -cerca de $\psi$ y $\phi$ respectivamente, en alguna métrica estándar como distancia de rastreo . Entonces, por continuidad, podemos mezclar de forma similar las distribuciones $D_{\psi'}$ y $D_{\phi'}$ -es decir, que se crucen entre sí en la región $p\in [0,\epsilon /2]$ -sin afectar a ningún resultado de la medición. (Una sutileza es que, al variar $M$ el procedimiento de clasificación puede hacer $v_1$ "saltar" discontinuamente de un vector base de $M$ a otro. Sin embargo, este salto no es un problema, ya que sólo depende de los vectores fijos $\psi$ y $\phi$ , no en $\psi'$ o $\phi'$ . Así que ocurre lo mismo en todas las partes del $\epsilon /2$ -bolas). QED

La segunda realización es que podemos tomar "combinaciones convexas" de teorías ψ-epistémicas. Dadas dos teorías ψ-epistémicas $T=(\Lambda,D,f)$ y $T'=(\Lambda',D',f')$ (donde $D,D'$ son las funciones que mapean los vectores $\psi \in H^d$ en las distribuciones ónticas), y una constante $c \in (0,1)$ definir la nueva teoría $c T + (1-c)T' =(\Lambda_c,D_c,f_c)$ de la siguiente manera:

• $\Lambda_c := \Lambda \cup \Lambda'$ .
• $D_c := c D + (1-c) D'$ .
• $f_c : \Lambda_c \rightarrow [0,1]$ es igual a $f$ en $\Lambda$ y $f'$ en $\Lambda'$ .

Lema 2: $c T + (1-c)T'$ es una teoría epistémica. Además, si $T$ mezcla las distribuciones ónticas de dos vectores $\psi$ y $\phi$ y $T'$ mezcla las distribuciones ónticas de otros dos vectores $\psi'$ y $\phi'$ entonces $c T + (1-c)T'$ mezcla ambos pares de distribuciones.

Prueba: Inmediato.

Usando los lemas 1 y 2, ahora construimos una teoría ψ-epistémica máximamente no trivial. Sea $T(\psi,\phi)$ sea la teoría devuelta por el lema 1 dados los vectores $\psi,\phi\in H^d$ . Además, para todos los enteros positivos $n$ , dejemos que $A_n$ ser un $1/n$ -red para $H^d$ es decir, un subconjunto finito $A_n \subseteq H^d$ tal que para todo $v\in H^d$ existe un $w \in A_n$ satisfaciendo $|| w - v || \lt 1/n$ . Haciendo pequeñas perturbaciones, podemos asegurar fácilmente la propiedad de que $u^{*}v \neq 0$ para todos $u,v\in A_n$ . Entonces nuestra teoría $T$ se define como sigue:

$$T = \frac{6}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \left( \frac{1}{|A_n|^2} \sum_{u,v \in A_n} T(u,v) \right). $$

Se puede comprobar que $T$ mezcla las distribuciones $D_{\psi}$ y $D_{\phi}$ para todo lo que no sea ortogonal $\psi$ y $\phi$ .

Comentario: Como ocurre a menudo en matemáticas, diría que el verdadero valor de conocer esta respuesta es que nos orienta hacia las preguntas que nosotros (o más bien Lewis et al.) "realmente" querían hacer. En la construcción anterior, el solapamiento entre $D_{\psi}$ y $D_{\phi}$ es efectivamente distinto de cero para cualquier $\psi,\phi$ pero el cantidad de solapamiento disminuye (según mi cruda estimación) como $ ( |\psi^{*} \phi| / d) ^{ \Theta(d) } $ .

Un escéptico de las teorías epistémicas podría argumentar que para grandes $d$ (y por supuesto, $d$ puede ser enorme en la mecánica cuántica), dicho solapamiento es físicamente irrelevante. Así que una pregunta obvia es cómo gran el solapamiento puede ser-por ejemplo, si puede caer sólo como $(|\psi^{*} \phi| / d)^{O(1)}$ . Pero mejor me detengo aquí, ya que sé que MO no está para discusiones de investigación abiertas. La pregunta, tal y como la planteé, ha sido respondida.