¿Cuáles son las álgebras de la mónada de doble dualización?

Question

Dejemos que $k$ sea un campo, y que $\mathbf{Vect}$ denotan la categoría de espacios vectoriales (posiblemente de dimensión infinita) sobre $k$ . Tomando los duales se obtiene un functor $(\ )^*\colon \mathbf{Vect}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Vect}$ .

Este functor contravariante es autoadjunto por la derecha, ya que un mapa lineal $X \to Y^*$ equivale a un mapa bilineal $X \times Y \to k$ que es esencialmente lo mismo que un mapa bilineal $Y \times X \to k$ que equivale a un mapa lineal $Y \to X^*$ . Por lo tanto, induce una mónada $(\ )^{**}$ en $\mathbf{Vect}$ .

¿Cuáles son las álgebras de esta mónada?

Observaciones

1. Supongo que esto es conocido (probablemente desde hace mucho tiempo).

2. El primer documento que encontré al buscar la respuesta fue el de Anders Kock, Sobre las mónadas de doble dualización , Matemáticas. Scand. 27 (1970), 151-165. Estoy bastante seguro de que no contiene la respuesta explícitamente, pero es posible que contenga algunos resultados que podrían ayudar.

3. La mónada no es idempotente (es decir, la parte de multiplicación de la mónada no es un isomorfismo). En efecto, tomemos cualquier espacio vectorial de dimensión infinita $X$ . Escribe nuestra mónada como $(T, \eta, \mu)$ . Si $\mu_X$ fuera un isomorfismo entonces $\eta_{TX}$ sería un isomorfismo, ya que $\mu_X \circ \eta_{TX} = 1$ . Pero $\eta_{TX}$ es la incrustación canónica $TX \to (TX)^{**}$ y esto no es surjetivo ya que $TX$ no es de dimensión finita.

4. Hay otra forma en la que la respuesta podría ser algo trivial, y es si $(\ )^*$ es monádico. Pero no me parece obvio que $(\ )^*$ refleja incluso los isomorfismos (lo que tendría que hacer si fuera monádico).

5. En cierto sentido, responder a esta pregunta equivale a completar la analogía:

son a los espacios compactos de Hausdorff como los espacios vectoriales son a ?????

En efecto, la mónada de codensidad del functor de inclusión (conjuntos finitos) $\hookrightarrow$ (conjuntos) es la mónada del ultrafiltro, cuyas álgebras son los espacios compactos de Hausdorff. La mónada de codensidad del functor de inclusión (espacios vectoriales de dimensión finita) $\hookrightarrow$ (espacios vectoriales) es la mónada de doble dualización, cuyas álgebras son... ¿qué? (Quizás esto ayude a alguien a adivinar la respuesta).

Answer 1

Tom, creo que $(-)^\ast: \mathbf{Vect}^{op} \to \mathbf{Vect}$ es monádico, esencialmente porque todos los objetos en $\mathbf{Vect}$ En particular $k$ como un módulo sobre $k$ como campo de tierra, son inyectivas.

Por ejemplo, para comprobar que $(-)^\ast$ refleja los isomorfismos, supongamos que $f: V \to W$ es cualquier mapa lineal. Tenemos dos secuencias exactas cortas

$$0 \to \ker(f) \to V \to im(f) \to 0$$

$$0 \to im(f) \to W \to coker(f) \to 0$$

Porque $k$ es inyectiva, el functor $(-)^\ast = \hom(-, k)$ preserva las secuencias exactas cortas:

$$0 \to im(f)^\ast \to V^\ast \to \ker(f)^\ast \to 0$$

$$0 \to coker(f)^\ast \to W^\ast \to im(f)^\ast \to 0$$

y si $f^\ast$ el compuesto $W^\ast \to im(f)^\ast \to V^\ast$ es un isomorfismo, entonces $W^\ast \to im(f)^\ast$ es inyectiva, lo que obliga a $coker(f)^\ast = 0$ y por lo tanto $coker(f) = 0$ . Con un argumento similar, $\ker(f) = 0$ . Por lo tanto, $f$ es un isomorfismo.

Las demás hipótesis del teorema de Beck (en la forma dada en el teorema 2, página 179, de Mac Lane-Moerdijk) son igualmente fáciles de comprobar. Evidentemente, $\mathbf{Vect}^{op}$ tiene coigualadores de pares reflexivos ya que $\mathbf{Vect}$ tiene ecualizadores. Y $(-)^\ast: \mathbf{Vect}^{op} \to \mathbf{Vect}$ (que tiene un adjunto izquierdo, como se ha señalado) preserva los coequipos; esto equivale a decir que $\hom(-, k)$ como un functor contravariante sobre $\mathbf{Vect}$ lleva los ecualizadores a los coequivalentes, o lleva los núcleos a los cokernels, pero eso es lo mismo que decir que $k$ es inyectiva, así que hemos terminado.

Ah, por cierto, la doble dualización no es una mónada conmutativa o monoidal, si no recuerdo mal.

Editar: En un comentario más abajo, Tom pide una descripción más concreta de $\mathbf{Vect}^{op}$ en la línea del álgebra topológica. Sospecho que el camino a seguir es ver $\mathbf{Vect}$ como la Ind-compleción (o Ind-cocompleción) de la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, y por tanto $\mathbf{Vect}^{op}$ como el Pro-completo de la categoría opuesta, que es de nuevo $\mathbf{Vect}_{fd}$ . Creo que he visto antes un resultado de que esto es equivalente a la categoría de topológico $k$ -que surgen como límites proyectivos de (diagramas cofiltrados de) espacios de dimensión finita con la topología discreta, o algo parecido, pero tendría que buscarlo para estar seguro. Puede que haya material pertinente en las Springer Lecture Notes on $\ast$ -categorías autónomas, pero de nuevo no estoy seguro.

Editar 2: Ah, lo encontré. $\mathbf{Vect}^{op}$ es equivalente a la categoría de espacios vectoriales linealmente compactos sobre $k$ y mapas lineales continuos. Véase, por ejemplo, el teorema 3.1 de este artículo: arxiv.org/pdf/1202.3609. El resultado se atribuye a Lefschetz.

Answer 2

Esto no es una respuesta directa a su pregunta, pero ¿está usted familiarizado con un reciente documento de "seguimiento" de Kock? Mónadas conmutativas como teoría de las distribuciones ? Allí considera un enfoque alternativo a la teoría de las distribuciones partiendo de una mónada general conmutativa $T$ (con una cierta noción de fuerza), entonces se define la doble dualización con respecto a un $T$ -Álgebra $B$ . Explica que existe un morfismo de mónada de $T$ en cualquier mónada de doble dualización $(-\multimap B)\multimap B$ que este morfismo puede ser factorizado por medio de una submónada $(-\multimap B) \multimap^T B$ y afirma que en ciertos casos el mapa $T \Rightarrow (-\multimap B) \multimap^T B$ es un isomorfismo.