Dejemos que $L\supseteq K$ sea una extensión de Galois de dimensión finita con grupo de Galois $G = \{\varphi_1,\ldots, \varphi_n\}$ . Sea $l_1,\ldots, l_n$ sea una base para $L$ en $K$ . Demostrar que la matriz $(\varphi_i(l_j))$ es invertible sobre $L$ .
Respuesta
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Esta respuesta será ineficaz y estará cargada de índices. Seguro que puedes acortarla.
Para la matriz \begin{pmatrix} \varphi_1(\ell_1)&\varphi_1(\ell_2)&\dots&\varphi_1(\ell_n)\\ \varphi_2(\ell_1)&&\dots&\varphi_2(\ell_n)\\ \vdots&&&\vdots\\ \varphi_n(\ell_1)&&\dots&\varphi_n(\ell_n) \end{pmatrix} para no ser invertible, las filas serían $L$ -dependiente de la línea. Es decir, tendríamos $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ en $L$ con $\sum_i\alpha_iR_i=0$ , donde $R_i$ es el $i$ -ésima fila de nuestra matriz. Es decir, para cada $j$ tenemos $\sum_i\alpha_i\varphi_i(\ell_j)=0$ . Ahora, dejemos que $z\in L$ para que $z=\sum_j\beta_j\ell_j$ para los escalares $\beta_j\in K$ . En $K\,$ ¡!
Ahora aplicamos el mapa $\sum_i\alpha_i\varphi_i$ a $z$ , pasar el $K$ -escalas $\beta_j$ a través de la $\varphi_i$ y utilizar la zonificación de $\sum_i\alpha_i\varphi_i(\ell_j)$ para ver que $\sum_i\alpha_i\varphi_i(z)=0$ que la Independencia de los Personajes nos dice que sólo puede ocurrir si todos los $\alpha_i$ eran cero después de todo.
