Localización K(r) y capas monocromáticas en la secuencia espectral cromática

Question

Mientras preparaba unos apuntes de clase, me surgió un punto de confusión básico que no he podido resolver.

El $BP$ -Secuencia espectral de Adams (o $p$ -secuencia espectral local de Adams-Novikov) para la esfera comienza con $E_2$ -página $$E_2^{*, *} = \operatorname{Ext}^{*, *}_{BP_* BP}(BP_*, BP_*)$$ y converge a $\pi_* \mathbb{S} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_{(p)}$ .

Hay una variedad de periodicidades geniales visibles en este $E_2$ -página, que podemos organizar mediante la siguiente secuencia espectral secundaria. Hay una cadena ascendente de $(BP_* BP)$ -ideales invariantes para $BP_*$ dado por $I_r = (p, v_1, \ldots, v_{r-1})$ , conectadas entre sí por las secuencias cortas exactas $$0 \to BP_* / I_r^\infty \to v_r^{-1} BP_* / I_r^\infty \to BP_* / I_{r+1}^\infty \to 0.$$ El cociente $BP_* / I_r^\infty$ se piensa en el subconjunto cerrado de los módulos de los grupos formales detectados por la gavilla ideal correspondiente a $I_r$ junto con su vecindad formal dentro de la pila matriz. Aplicando $\operatorname{Ext}$ y encadenando las secuencias exactas largas resultantes, se llega a la secuencia espectral cromática (trigrada): $$E_1^{r, *, *} = \operatorname{Ext}^{*, *}_{BP_* BP}(BP_*, v_r^{-1} BP_* / I_r^\infty) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{*, *}_{BP_* BP}(BP_*, BP_*).$$ Gran parte de la diversión en la teoría de la homotopía cromática después de este punto proviene de la identificación de los grupos en este $E_1$ -página como otro tipo de cosas, como ciertas cohomologías de grupo.

Cambiando un poco de marcha, la localización de Bousfield en el Johnson-Wilson $E(r)$ -teorías y la morava $K(r)$ -teorías pretende realizar la misma organización a nivel de tipos de homotopía. Los espectros $E(\infty)$ y $E(0)$ corresponden a $BP$ y a $H\mathbb{Q}$ respectivamente, por lo que la secuencia de funtores de localización $L_{E(r)}$ pretenden interpolar entre la teoría racional de la homotopía y el tipo de teoría de la homotopía visible para el $p$ -secuencia espectral local de Adams-Novikov.

Hay dos formas de estudiar estos funtores como $r$ aumenta. En primer lugar, existe un mapa natural $L_{E(r)} X \to L_{E(r-1)} X$ . Su fibra de homotopía detecta la diferencia entre estos dos espectros, denotando $M_r X$ y llamó a la $r$ La capa monocromática de $X$ . En segundo lugar, existe un cuadrado de retroceso, denominado fractura cromática: $$\begin{array}{ccc} L_{E(r)} X & \to & L_{K(r)} X \\ \downarrow & & \downarrow \\ L_{E(r-1)} X & \to & L_{E(r-1)} L_{K(r)} X. \end{array}$$ En ambas situaciones, se puede esperar estudiar inductivamente los espectros de filtrado $L_{E(r)} X$ mediante el estudio de las "capas de filtración", que son $M_r X$ o $L_{K(r)} X$ dependiendo de su enfoque.

Mi pregunta es: ¿Cómo se conectan exactamente estos dos enfoques con la secuencia espectral cromática?

Sospecho que el CSS para $L_{E(R)} X$ parece el CSS para $X$ después de cotejar la información en $r$ -grados $r > R$ . También sospecho que el CSS para uno de los dos de $M_R X$ y $L_{K(R)} X$ parece que para $L_{E(R)} X$ después de haber cotizado adicionalmente la información en $r$ -grados $r < R$ . Sin embargo, no consigo que las piezas se alineen. Por ejemplo, la proposición 7.4 de Hopkins, Mahowald y Sadofsky Construcciones de elementos en grupos de Picard sugiere que esta descripción es válida para $L_{K(R)} \mathbb{S}$ ya que esa afirmación coincide con su secuencia espectral de Adams-Novikov que converge a $\pi_* L_{K(R)} \mathbb{S}$ --- tal y como cabría esperar de una secuencia espectral cromática en colapso. Por otro lado, la esquina inferior del cuadrado de la fractura es de la forma $L_{E(R-1)} L_{K(R)} X$ y esta descripción parece decir que su CSS está vacío, lo que no parece correcto.

Agradecería que alguien me aclarara esto. Gracias.

Answer 1

Tengo al menos una respuesta parcial a mi pregunta. Es bastante complicada, y algunas partes están escritas en varios lugares, así que voy a hacer lo que pueda para ser minucioso. Antes de hacer cualquier cosa que implique secuencias espectrales en absoluto, resultará útil tener un cierto par de familias de $BP_* BP$ -a nuestra disposición, definidos por las fórmulas $$N_r^s = BP_* / \langle p, \ldots, v_{r-1}, v_r^\infty, \ldots, v_{r+s-1}^\infty \rangle,$$ $$M_r^s = v_{r+s}^{-1} BP_* / \langle p, \ldots, v_{r-1}, v_r^\infty, \ldots, v_{r+s-1}^\infty\rangle = v_{r+s}^{-1} N_r^s.$$ De hecho, estas fórmulas tienen sentido incluso a nivel de espectros, ya que $N_0^0$ puede tomarse como $BP$ , $M_r^s$ aparece como un telescopio cartográfico construido con $N_r^s$ y hay secuencias coféricas (/ secuencias cortas exactas) $$N_r^s \xrightarrow{\cdot v_{r+s}^\infty} M_r^s \to N_r^{s+1},$$ $$N_r^r \xrightarrow{\cdot v_r} N_r^r \to N_{r+1}^{r+1}.$$ El $BP_* BP$ -se recuperan tomando grupos de homotopía.

La más fundamental de todas las secuencias espectrales en juego fue planteada por Drew en los comentarios anteriores. La torre cromática es una torre de fibrados $$\cdots \to L_{E(n+1)} \mathbb{S}^0 \to L_{E(n)} \mathbb{S}^0 \to \cdots \to L_{E(0)} \mathbb{S}^0,$$ y las fibras de estos mapas definen las capas monocromáticas. Aplicando $\pi_*$ al diagrama produce una secuencia espectral de firma $$\pi_* M_r \mathbb{S}^0 \Rightarrow \pi_* \mathbb{S}^0_{(p)}.$$ Para estudiar esta secuencia espectral, hay dos cosas razonables que involucran la teoría de la homología $BP_*$ :

1. Aplicar $BP_*$ al diagrama de la torre cromática y estudiar la secuencia espectral resultante.
2. Utilice el $BP$ -Secuencia espectral de Adams para calcular $\pi_* M_n \mathbb{S}^0$ de $BP_* M_n \mathbb{S}^0$ .

Ambas resultan ser relevantes, y ambas se apoyan en una determinada entrada, calculada por Ravenel. En concreto, muestra cómo calcular $BP_* L_{E(r)} \mathbb{S}^0$ y las piezas circundantes:

Teorema 6.2 (Ravenel, Localizaciones con respecto a ciertas teorías de cohomología periódicas ): Los mapas de ida y vuelta $N_0^{s+1} \to \Sigma N_0^s$ componer para dar un mapa $\Sigma^{-s-1} N_0^{s+1} \to N_0^0 = BP$ . La cofibra de este mapa puede identificarse como $$\Sigma^{-s-1} N_0^{s+1} \to BP \to L_{E(s)} BP.$$ Además, el triángulo girado $BP_* \to \pi_* L_{E(s)} BP \to \pi_* \Sigma^{-s} N_0^{s+1}$ (Hay una excepción en el caso inferior, donde $BP_* L_{E(0)} \mathbb{S}^0 = BP_* \otimes \mathbb{Q}$ .)

Aplicando el axioma octaédrico al par $\Sigma^{-s-1} N_0^{s+1} \to \Sigma^{-s} N_0^s \to BP$ y luego aplicar $BP_*$ -homología da el cálculo $$BP_* M_s \mathbb{S}^0 = \Sigma^{-s} M_0^s.$$

Ahora podemos abordar 1. y 2.:

1. Si eliminamos el aburrido $BP_*$ sumandos en $BP_* L_{E(n)} \mathbb{S}^0$ , entonces la pareja exacta que viene de aplicar $BP_*$ -a la torre cromática sólo se convierte en una cadena de secuencias exactas cortas de $BP_* BP$ -comódulos. Ahora, sabemos que $H^{*, *} N_0^0$ es la entrada al $BP$ -Cálculo de la secuencia espectral de Adams $\pi_* \mathbb{S}^0$ y aplicando $H^{*, *}$ a este diagrama de secuencias cortas exactas de $BP_* BP$ -se obtiene una secuencia espectral de firma $$E_1^{r, *, *} = H^{*, *} M_0^r \Rightarrow H^{*, *} N_0^0.$$ Se trata de la secuencia espectral cromática habitual, que se deriva de consideraciones algebraicas.
2. La aplicación de la $BP$ -Secuencia espectral de Adams para calcular $\pi_* M_r \mathbb{S}^0$ comienza con el cálculo de $\operatorname{Ext}^{*, *}_{BP_* BP}(BP_*, BP_* M_r \mathbb{S}^0)$ que ahora sabemos que es isomorfo a $H^{*, *} M_0^r$ . (De hecho, se supone que esta secuencia espectral se colapsa para $p \gg n$ Por ejemplo, $p \ge 5$ para $n = 2$ .)

Otra parte de toda esta historia es cómo el $K(r)$ -la esfera local juega en este cuadro. Ahora, también hay una secuencia espectral de tipo Adams que computa $\pi_* L_{K(r)} \mathbb{S}^0$ y tiene firma $$\operatorname{Ext}^{*, *}_{\Gamma}(K(n)_*, K(n)_*) \Rightarrow \pi_* L_{K(n)} \mathbb{S}^0,$$ donde $\Gamma = K(n)_* \otimes_{BP_*} BP_* BP \otimes_{BP_*} K(n)_*$ . El teorema del cambio de anillos de Morava afirma que el mapa $M_r^0 \to K(n)_*$ induce un isomorfismo entre los grupos de cohomología de la gavilla $H^{*, *} M_r^0$ y el $\operatorname{Ext}$ -en la secuencia espectral de tipo Adams.

La diferencia, entonces, entre la esfera monocromática y la $K(r)$ -la esfera local se registra en el intercambio de índices $M_0^r$ y $M_r^0$ --- es decir, si los generadores de abajo $v_r$ se toman como cero o como torsión. La diferencia en estas dos situaciones se registra, por supuesto, como una secuencia espectral: las inclusiones $$v_{r+s}^{-1} BP_* / \langle p, \ldots, v_{r-1}, v_r^j, v_{r+1}^\infty, \ldots, v_{r+s-1}^\infty \rangle \xrightarrow{\cdot v_r} v_{r+s}^{-1} BP_* / \langle p, \ldots, v_{r-1}, v_r^{j+1}, v_{r+1}^\infty, \ldots, v_{r+s-1}^\infty \rangle$$ todos tienen cofibra $M_{r+1}^{s-1}$ independientemente de la elección del índice $j$ . Aplicando $H^{*, *}$ a la cadena de inclusiones (extendida a las secuencias de cofibras) da lugar a la $v_r$ -Secuencia espectral de Bockstein, de firma $$H^{*, *} M_{r+1}^{s-1} \otimes \mathbb{F}_p[v_r] / v_r^\infty \Rightarrow H^{*, *} M_{r}^{s}.$$ Por lo tanto, hay una longitud $r$ cadena de $v_*$ -Secuencias espectrales de Bockstein que comienzan con $H^{*, *} M_r^0$ y concluyendo con $H^{*, *} M_0^r$ .

Algunas cosas no incluidas en esta respuesta son:

• ¿Qué ocurre cuando se analiza la torre cromática de espacios distintos al espectro de la esfera?
• Cuál es la relevancia del espacio de la esquina $L_{E(r-1)} L_{K(r)} \mathbb{S}^0$ en términos de la secuencia espectral cromática?
• ¿Qué partes de esta historia pueden tener sentido mutatis mutandis al sustituir $BP$ con otros espectros de la misma familia, como $E(r)$ ? Mi expectativa (como revelan los comentarios) es que debería haber un análogo de la secuencia espectral cromática algebraica para $E(R)$ -que es el truncamiento de la habitual para $r \le R$ . (En octubre llegué a pensar que sabía cómo demostrarlo, pero ya lo he olvidado. Esta es la pregunta menos interesante del grupo).