evaluar $\oint_C \frac{1}{z-i} dz$ donde C es el círculo $\left\vert 2 \right\vert$

Question

He intentado varias veces resolver esta integral, pero soy incapaz de resolverla, cada vez obtengo una respuesta errónea similar. La pregunta es "evaluar $$\oint_C \frac{1}{z-i} dz$$ donde C es el círculo $\left\vert 2 \right\vert$ "

Esta es mi solución (errónea):

Esta función no es analítica en $z=i$ . Este punto forma parte del círculo $\left\vert 2 \right\vert$ por lo que el teorema de la integral de Cauchy no se cumple aquí.

La ecuación paramétrica de la curva es:

$$ z(t)=2e^{it} $$ donde $0\leq t \leq 2\pi$ et $$ \frac {dz}{dt} = 2ie^{it} $$

y también: $$ f(z(t))=\frac {1}{z(t)-i}=\frac {1}{2e^{it}-i} $$

Así que: $$ \oint_C f(z(t))\cdot z'(t)dt = \oint\limits_{0}^{2\pi} \frac{2ie^{it}}{2e^{it}-i}dt $$

Utilicé $u=2e^{it}-i$ y $du=2ie^{it}dt$ para resolver la integral.

$$ \int\limits_{0}^{2\pi}\frac {du}{u}=Ln(u)=Ln(2e^{it}-i) $$

Ahora bien, si sustituyo $2\pi$ y $0$ : $$ Ln(2e^{i(2\pi)}-i) - Ln(2e^{i(0)}-i) = Ln(2-i)-Ln(2-i)=0 $$

Pero el libro dice que la respuesta es " $2\pi i$ ". ¿Qué hay de malo en mi solución?

Answer 1

Su problema es que la función $1/u$ no tiene una primitiva definida en todos los $C$ . El logaritmo complejo se define típicamente con cortes de rama, ya que $$ e^{2\pi i} = e^{0} ~~ {\rm but } ~~ 2\pi i \neq 0, $$ lo que lleva a una ambigüedad en la definición de $\log$ en $z=1$ (¡por ejemplo!). Para tratar esto de la forma más elemental, puedes separar la integral en partes reales e imaginarias e intentar integrar cada una por separado. Este proceso parece una gran chapuza, así que en su lugar puedes expandir la función $f(z)$ en su serie Laurent sobre $z = i$ y aplicar el teorema del residuo.

Probablemente sea más útil: se podría dibujar un segundo círculo de radio unitario alrededor de $z = i$ Llámalo $C_2$ . Entonces, por el teorema de Cauchy, $$ \int_C f(z) dz = \int_{C-C_2} f(z) dz + \int_{C_2} f(z) dz = \int_{C_2} f(z)dz.$$ Es decir, atravesar $C$ una vez puede dividirse en (i) atravesar $C$ a partir de $z = 2i$ en sentido contrario a las agujas del reloj; (ii) atravesando $C_2$ empezando en el mismo punto, en el sentido de las agujas del reloj (estos dos pasos dan un camino que he etiquetado como $C - C_2$ ); iii) atravesar $C_2$ de nuevo, en sentido contrario a las agujas del reloj.

Los dos viajes a lo largo de $C_2$ se anulan, pero agrupando los dos primeros tramos del recorrido obtenemos un contorno que no contiene la singularidad $z = i$ . El teorema de Cauchy implica entonces que la integral de línea a lo largo de $C - C_2$ es cero.

Ahora a evaluar $\int_{C_2} f(z) dz$ podemos traducir el problema a la integración de $1/z$ sobre el círculo unitario, $C_0$ (sustituir $w = z-i$ ). Esto deja

$$\int_C {1 \over z - i} dz = \int_{C_2} {1\over z - i} dz = \int_{C_0} {dw \over w} = \int_0^{2\pi} {ie^{it} \over e^{it}} dt = i\int_0^{2\pi} dt = 2\pi i.$$

El comentario de Daniel Fischer es una excelente sugerencia. Prefiero su solución, pero esto es lo que tengo :)

Answer 2

Como se muestra a continuación, no se puede integrar $\frac1z$ alrededor de la singularidad en el origen y obtenga un valor que coincida con el valor con el que comenzó. Esto significa que $\log(z)$ no puede estar bien definida en una vecindad del origen.

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El siguiente cómputo podría ser simplemente una versión traducida de la respuesta de Tito. Si es así, quizá la traducción y el diagrama añadan algo de valor.

Sustituyendo $z\mapsto z+i$ obtenemos $$ \int_{\left|z\right|=2}\frac{\mathrm{d}z}{z-i} =\int_{\left|z+i\right|=2}\frac{\mathrm{d}z}{z}\tag{1} $$ Como el contorno de abajo no rodea el origen,

Teorema integral de Cauchy dice que $$ \int_{\left|z+i\right|=2}\frac{\mathrm{d}z}{z} -\int_{\left|z\right|=1}\frac{\mathrm{d}z}{z}\tag{2} =0 $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \int_{\left|z+i\right|=2}\frac{\mathrm{d}z}{z} &=\int_{\left|z\right|=1}\frac{\mathrm{d}z}{z}\\ &=\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}e^{i\theta}}{e^{i\theta}}\\ &=i\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\\[3pt] &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{2\pi i}\tag{3} \end{align} $$