Convergencia absoluta y condicional de las series de funciones

Question

Tengo un problema. Tengo que explorar la convergencia absoluta y condicional de esta serie de funciones

Desgraciadamente. No he encontrado en mi referencia ninguna palabra sobre "absoluto y condicional", en cambio sólo he visto "convergencia uniforme, cantidad y equilibrio" de las series de funciones. Acabo de empezar a aprenderlo. Ayúdame a encontrar los pasos de la solución y resolver mi ejemplo.

Muchas gracias.

Answer 1

Esta serie es absolutamente convergente:

$$\big| \sum_{n=1}^{ \infty}3^n \sin \left( \frac{x}{5^n} \right) \big| \le \sum_{n=1}^{ \infty}3^n \sin \left( \frac{|x|}{5^n} \right) \le \sum_{n=1}^{ \infty}3^n \frac{|x|}{5^n}=\\|x|\sum_{n=1}^{ \infty} \left( \frac{3}{5} \right)^n=|x| \left(\frac{1}{1-3/5}-1 \right)= \frac{3|x|}{2}$$

sumando la serie geométrica y observando que $-|x| \le \sin(x) \le |x|\ \forall x \in \mathbb{R}$ .

Answer 2

Dado $\sum_{n \ge 1} a_n$ , si $\sum_{n \ge 1} |a_n|$ converge llamamos a la serie absolutamente convergente. Si $\sum_{n \ge 1} a_n$ converge pero $\sum_{n \ge 1} |a_n|$ diverge llamamos a la serie condicionalmente convergente.

Pistas sobre su problema:

1. Demuestra que $\lim_{n \to \infty}\frac{3^n| \sin(\frac{1}{4^n})|}{3^n | \sin(\frac{x}{5^n})|}= \infty$ . (Yo elegí $4$ aquí sólo porque está entre $3$ y $5$ . En cambio, puedes elegir cualquier número entre el 3 y el 5 sin el 3 y el 5, no es un gran problema)

2. Usando 1 deduzca que para cada $x$ existe $n_0$ tal que para todo $n>n_0$ tenemos $3^n | \sin(\frac{x}{5^n})| \le 3^n | \sin(\frac{1}{4^n})|$ .

3. Demuestra que $3^n| \sin(\frac{1}{4^n})| \sim_{\infty} \frac{3^n}{4^n}$ .

4. Da la conclusión.