Declaración sobre la restricción de una función

Question

Toda la terminología que aparece a continuación está relacionada con la Teoría de Conjuntos.

Definición : Dejemos que $f$ sea una función y $nN$ . Decimos que $f$ es de orden $n$ si la imagen inversa de cada elemento del rango tiene como máximo $n$ elementos correspondientes del dominio.

Nota : $f$ es una relación funcional si $\forall x,y,y'(\langle x,y \rangle \in f \text{ and } \langle x,y' \rangle \in f \Rightarrow y=y')$ .

Problema : Si $f$ es una función de orden $n, n > 0,$ y $ADom(f)$ entonces la restricción de $f$ a $f^{-1}[f[A]]$ \ $A$ es de orden $n - 1$ .

*Esta afirmación es bastante obvia si pongo por ejemplo $n=2$ . Sin embargo, no puedo encontrar una prueba matemática que demuestre la validez para $nN$ .

Cualquier idea o sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

Creo que vas por buen camino en tu largo comentario a Daniel pero no está del todo claro. En primer lugar, en todas las partes que ha escrito $f^{-1}[A]$ En realidad quieres decir $f^{-1}[f[A]]$ . Entonces no se necesitan realmente dos casos: no importa si $f^{-1}[\{y\}]\setminus A$ está vacío o no. Lo único que importa es que no es todo $f^{-1}[\{y\}]$ .

Yo me inclinaría por organizarlo de esta manera.

Dejemos que $D=f^{-1}[f[A]]\setminus A$ . Sea $y\in f[A]$ y que $F=f^{-1}[\{y\}]$ . Por hipótesis $|F|\le n$ y queremos demostrar que $|F\cap D|\le n-1$ . Pero $F\cap D=F\setminus A$ y $F\cap A\ne\varnothing$ , así que ... ?