Cualitativamente, ¿cuál es la diferencia entre una matriz y un tensor?

Question

Cualitativamente (o matemáticamente "luz"), podría alguien describir la diferencia entre una matriz y un tensor? Sólo he visto utilizado en el contexto de pregrado, en el nivel superior de la mecánica clásica curso, y dentro de ese contexto, nunca he entendido la necesidad de distinguir entre las matrices y tensores. Que parecía idéntico entidades matemáticas para mí.

Como un aparte, mi experiencia en las matemáticas es aproximadamente la de un típico licenciatura de física (menos el álgebra lineal).

Answer 1

Coordinar sabio, uno podría decir que una matriz es un "cuadrado" de los números, mientras que un tensor es una $n$-bloque de números. Pero esto es horrible, no perspicaz e incluso un poco mal, ya que esas coordenadas debe "cambiar de maneras apropiadas" (esto es parte de por qué esto es horrible).

Puede ser la mejor manera de pensar de la siguiente manera: dado un espacio vectorial $V$, una matriz puede ser visto de una manera adecuada como un bilineal mapa de $V^* \times V \rightarrow \mathbb{R}$ (desde que lo pedí, no voy a entrar en detalles. Aquí, $V^*$ es el doble de $V$). Un tensor puede ser interpretado como una aplicación multilineales $V^* \times... \times V^* \times V \times ... \times V \rightarrow \mathbb{R}$ (no necesariamente la misma cantidad de $V^*$'s y $V$'s).

Por lo tanto, una matriz es un tipo de tensor. Pero los tensores son más generales.

Answer 2

Un rango de 0 tensor es un escalar.

Un tensor de rango 1 es una fila o vector columna.

Un tensor de rango 2 es una matriz, a menudo plaza.

Un tensor de rango 3? Creo 3D de la matriz. En lugar de un rectángulo con las entradas de datos para cada columna y fila, pensar en un cubo.

Rango 4... ir 4D!

Answer 3

Las Matrices son un tipo especial de tensor de rango 2. Escalares, vectores, matrices, son todos los tensores.

Honestamente tensores son por lo general la gran mayoría de cosas que lidiar con su clase son los tensores.