Algoritmo para resolver el sistema $\sum_{i=1}^nx_i^k = k!c_k$ , $k=1,2,\ldots,n$ eficientemente

Question

$$ x_1 + x_2 + \cdots +x_n = c_1 $$ $$ \frac{x_1^2}{2} + \frac{x_2^2}{2} + \cdots +\frac{x_n^2}{2} = c_2 $$
$$ \vdots $$ $$ \frac{x_1^n}{n!} + \frac{x_2^n}{n!} + \cdots +\frac{x_n^n}{n!} = c_n $$

$c_1,\ldots,c_n$ son constantes conocidas. $x_1, \ldots, x_n$ son las incógnitas a resolver.

Answer 1

Definir el polinomio

$$f(x) = \sum_{i=0}^n(-1)^ie_i(c_1,2!c_2\ldots,n!c_n)x^{n-i}$$

donde $e_i(c_1,2!c_2\ldots,n!c_n)$ son los polinomios simétricos elementales entonces las raíces $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ de $f(x) = 0$ son la solución que busca. Por lo tanto, este método reduce el problema a la búsqueda de las raíces de un polinomio (que numéricamente es bastante simple).

Véase, por ejemplo aquí y aquí para más explicaciones (y otros métodos de solución).

Answer 2

No estoy seguro de si esto es lo que considerarías "eficiente", pero puedes utilizar la primera ecuación para resolver una de las variables. Por ejemplo, $x_1 = c_1 - x_2 - \dots - x_n$ . A continuación, sustituye esto en la segunda ecuación para obtener $(c_1 - x_2 - \dots - x_n)^2 + x_2^2 + \dots x_n^2 = c_2$ . Ahora puedes resolver para otra variable, digamos $x_2$ . A continuación, introduce las dos primeras variables en la tercera ecuación, etc.

Usted tiene $n$ ecuaciones en $n$ desconocidos, por lo que este proceso debería funcionar, pero me imagino que llevará algún tiempo para grandes $n$ .