Integral que implica la distribución Gamma

Question

Necesito ayuda con una integral. Esta es la solución a uno de los problemas que tuve que hacer. Todo está bien, pero no entiendo un paso:

Ahora bien, ¿cómo es

$$\int_0^\infty \frac{\beta_n^{\alpha_n+k}}{\Gamma(\alpha_n+k)}\theta^{\alpha_n+k-1}e^{-\beta_n\theta}d\theta=1$$

¿Podría alguien explicarme de dónde han sacado este resultado? Probablemente es algo estándar que debería saber, pero no lo sé.

Answer 1

La definición integral habitual de la función gamma hace que esto sea trivial si se sustituye $t=\beta_n\theta$ .

Answer 2

La función gamma puede definirse como integral paramétrica

$$\Gamma(z)~=~\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\mathrm dt\tag1$$

Ahora podemos sustituir $z=\alpha_n+k$ y $t=\beta_n\theta$ para obtener su integral. Así obtenemos que

$$\Gamma(\alpha_n+k)=\int_0^\infty t^{\alpha_n+k-1}e^{-t}\mathrm dt\stackrel{t=\beta_n\theta}=\int_0^\infty (\beta_n\theta)^{\alpha_n+k-1}e^{-\beta_n\theta} [\beta_n\mathrm d\theta]=\beta_n^{\alpha_n+k}\int_0^\infty \theta^{\alpha_n+k-1}e^{-\beta_n\theta}\mathrm d\theta$$

Ahora es bastante fácil concluir que

$$\frac{\beta_n^{\alpha_n+k}}{\Gamma(\alpha_n+k)}\int_0^\infty \theta^{\alpha_n+k-1}e^{-\beta_n\theta}\mathrm d\theta=1$$

$$\therefore~\int_0^\infty \frac{\beta_n^{\alpha_n+k}}{\Gamma(\alpha_n+k)}\theta^{\alpha_n+k-1}e^{-\beta_n\theta}\mathrm d\theta=1$$