Leyes de los grandes números: desigualdades y convergencia

Question

Dejemos que $X_1,X_2,...$ sea una secuencia de variables aleatorias independientes con $P(X_n = 3^n) = P(X_n = -3^n) = \frac{1}{2}$ . Sea $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ .

Calcula $E(X_n)$ para cada $n$ .

He resuelto esta parte con algo de ayuda y he llegado al hecho de que $E(X_n) = \frac{1}{2}(-a) + \frac{1}{2}(a) = 0$

• Para $n \in N$ , calcular $R_n \equiv \sup\{r \in R; P(|S_n| \ge r) = 1\}$ es decir, el mayor número tal que $|S_n|$ es siempre el menos $R_n$ .

¿Cuál sería el primer paso para esta parte? Había encontrado este post aquí que parece relevante y actualmente estoy tratando de averiguar cómo: Probabilidad de que, dado un conjunto de variables aleatorias uniformes, la diferencia entre los dos valores más pequeños sea mayor que un determinado valor

También estoy pensando en la posibilidad de aplicar la desigualdad de Chebychev a esto, pero todavía estoy tratando de pensar en cómo funcionaría.

Se agradece cualquier ayuda para orientarme en la dirección correcta.

Answer 1

$S_n$ puede tomar los valores $\sum_{j=1}^n\varepsilon(j)3^j$ , donde $\varepsilon(j)\in\{-1,1\}$ . Así, denotando $A:=\sum_{j=1}^n3^j$ , si $R>A$ entonces $P(|S_n|\geqslant R)=1$ y deducimos que $0\leqslant R_n\leqslant A$ . Si $R<A$ El evento $\bigcap_{j=1}^n\{X_j=3^j\}$ tiene una probabilidad no nula, por lo que $P(|S_n|\geqslant R)\neq 1$ . Deducimos que $$R_n=\sum_{j=1}^n3^j=3\frac{3^n-1}2.$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $|S_n|\geqslant|X_n|-\sum\limits_{k=1}^{n-1}|X_k|=3^n-\sum\limits_{k=1}^{n-1}3^k=x_n$ digamos. Por otro lado, $[|S_n|=x_n]$ sucede si cada $X_k$ con $k\leqslant n-1$ tiene el mismo signo y si $X_n$ tiene el signo contrario, y esto tiene una probabilidad positiva. Por lo tanto, $R_n=x_n$ . Al calcular la suma geométrica se obtiene $x_n=\frac12(3^n+3)$ Por lo tanto $$ R_n=\tfrac12(3^n+3). $$ Igualmente, $\bar R_n=\min\{r\in\mathbb R\mid\mathbb P(|S_n|\leqslant r)=1\}$ es $\bar R_n=\tfrac12(3^{n+1}-3)$ .