Contradicción en la masa oscilante

Question

Una cuenta está oscilando en dirección horizontal como se muestra en la figura, nuestro objetivo es encontrar la frecuencia angular de la cuenta oscilante

En primer lugar, podemos escribir el potencial como $$V(l)=\frac{1}{2}k\cdot l^2 $$ aquí $\quad l=\sqrt {x^2+l^2_0}\ \ - l_0 \quad$ entonces: $$V(x) =\frac{1}{2}k\cdot \left(\sqrt {x^2+l^2_0}\ \ - l_0 \right)^2 $$ Tomando la segunda derivada de esto: $$V''(x)= \dfrac{k\left(\sqrt{x^2+l_0^2}\left(-x^4-l_0^2x^2\right)+\left(x^2+l_0^2\right)^\frac{3}{2}\left(2x^2+l_0^2\right)-l_0^3x^2-l_0^5\right)}{\left(x^2+l_0^2\right)^\frac{5}{2}}$$ nuestra posición de equilibrio en $x$ dirección es $x_{eq}=0$ conectando esto a $$ \omega = \sqrt\frac{V''(x_{eq})}{m}$$ da: $$ \omega = \sqrt\frac{V''(0)}{m} = 0$$ Parece un poco tonto porque parece obvio que debe oscilar con una frecuencia angular no nula. ¿Hay alguna manera de encontrar esta frecuencia angular?

Answer 1

¿Hay alguna manera de encontrar esta frecuencia angular?

La fuerza debida a este potencial es

$$F = -kx\left(1 - \frac{l_0}{\sqrt{l^2_0 + x^2}}\right)\approx -\frac{k}{2\,l^2_0}x^3,\quad x\ll l_0$$

por lo que este sistema no lineal no es aproximadamente lineal en el régimen de pequeños desplazamientos como, por ejemplo, un péndulo. No parece probable que el movimiento sea descrito por una sinusoide pura de frecuencia angular $\omega$

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Después de tomar un poco más de café, se me ocurrió que en el gran régimen de desplazamiento, la fuerza es aproximadamente

$$F \approx -kx\left(1 - \frac{l_0}{\sqrt{x^2}}\right)\approx -kx,\quad x\gg l_0$$

Así, para una amplitud suficientemente grande, esperaría que el movimiento sea aproximadamente sinusoidal con frecuencia angular $\omega \approx \sqrt{k/m}$ . Por supuesto, habrá componentes de frecuencia adicionales, aunque yo esperaría que fueran relativamente menores a medida que la amplitud aumenta.

Me recuerda a un Circuito BJT clase B en contrafase donde se produce la llamada distorsión de cruce cuando un transistor se "apaga" y el otro se "enciende". La curva de transferencia de tensión es bastante no lineal en esta región, pero bastante lineal en el resto.

Crédito de la imagen

Así, las señales de entrada sinusoidales de pequeña amplitud están muy distorsionadas por este circuito, pero el contenido de distorsión de la salida disminuye rápidamente a medida que aumenta la amplitud de entrada.

Answer 2

La cuestión es que cerca del equilibrio, su fuerza no es lineal, por lo que no podemos aproximar el sistema como un simple oscilador armónico.

Su fuerza horizontal es $$F_x=\frac{-kx\left(\sqrt{x^2+l_0^2}-l_0\right)}{\sqrt{x^2+l_0^2}}=-kx+\frac{kxl_0}{\sqrt{x^2+l_0^2}}$$

Lamentablemente, esto no resuelve su problema, ya que $\frac{dF}{dx}=0$ cuando $x=0$ , tan cerca $x=0$ (o $x\ll l_0$ ) la fuerza no es lineal (es decir, no parece $F=-kx$ para $k\neq0$ ). Por lo tanto, su conclusión es correcta. Sólo significa que no podemos encontrar una cantidad que represente una frecuencia angular para SHM.

Obsérvese que, en general, sólo porque la fuerza en sí no es de la forma $F=-kx$ no significa que no podamos aproximar la fuerza para tener esta forma cerca del equilibrio. Desgraciadamente, para este caso concreto la fuerza no se puede aproximar de esta manera.

Answer 3

Tenga en cuenta que la fórmula que está utilizando para $\omega$ supone un movimiento armónico simple, y el potencial que estás utilizando no conduce a un movimiento armónico simple.