Dejemos que $(M,d)$ sea un espacio métrico y $q \in M$ . Si $(p_n)$ sea una secuencia acotada en $M$ , demuestran que $(d(p_n,q))$ tiene una subsecuencia convergente en $\Bbb R$ .

Question

Dejemos que $(M,d)$ sea un espacio métrico y $q \in M$ . Sea $(p_n)$ sea una secuencia acotada en $M$ . Demostrar que $(d(p_n,q))$ tiene una subsecuencia convergente en $\Bbb R$ .

Teorema de la subsecuencia monótona. Si $(x_n)$ es una secuencia cualquiera de números reales, entonces existe una subsecuencia en $(x_n)$ que es monótona.

Esto es lo que he probado hasta ahora: Desde $(p_n)$ está acotado, entonces por el teorema anterior, se deduce que $(p_n)$ tiene una subsecuencia $(p_{n_k})$ que es monótona. Claramente, $(p_{n_k})$ está acotado. Por lo tanto, por el Teorema de Convergencia Monótona, obtenemos $(p_{n_k})$ es convergente.

El objetivo es demostrar que $d(p_{n_k},q) \to d(p,q)$ para algunos $p \in M$ . Pero, me quedé atascado allí. ¿Cómo enfocarlo correctamente? Gracias por su ayuda por adelantado.

Answer 1

$(M, d) $ espacio métrico.

$(p_n) \subset M $ limitado implica $\exists q\in M, r>0 $ tal que para todo $n\in \Bbb{N}$ , $d(p_n, q) <r$

Implica, $\{d(p_n, q) \} \subset \Bbb{R}$ es una secuencia acotada y por el teorema de Bolzano-Weierstrass $\{d(p_n, q) \}$ tiene una subsecuencia convergente.

Edición: Para cualquier $p\in M $ ,

\begin{align*} d(p_n, p) &\le d(p_n, q) +d(q, p) \\ &\le r+d(q, p) \\ &= r'. \end{align*}

Por lo tanto, $\{d(p_n,p) \}$ es de nuevo una secuencia acotada de números reales y por B-W teorema, tiene una subsecuencia convergente.

Answer 2

Vas por buen camino, más o menos. Sin embargo, recuerde $p_n$ no son números reales, ¡ni siquiera tienen que proceder de un espacio ordenado en el que la monotonicidad tenga sentido! (Por ejemplo, podrían ser números complejos). La secuencia de números reales es la secuencia de DISTANCIA con la que estás trabajando. $d(p_n,q)$ . Es una secuencia de números reales, por lo que tiene una subsecuencia monótona.

Ahora, tenemos que demostrar que esa secuencia de números reales también está acotada. Recordemos que $p_n$ estar acotado en un espacio métrico significa que hay algún radio $r$ y algún centro $c$ tal que para todo $n$ , $d(p_n,c)\leq r$ Ahora utiliza la desigualdad del triángulo para demostrar que hay algún otro número real que limita los valores de $d(p_n,q)$ .

Una vez que tienes eso, tienes una secuencia acotada monótona de números reales, que como los reales son completos, converge.

Answer 3

Desde $(p_{n_k})$ convergente en $M$ dejando que $p_{n_k} \to p \in M$ con $p \ne q$ tenemos $d(p_{n_k}, p) \to 0$ . Ahora, es fácil comprobar que $$|d(p_{n_k},q) - d(p,q)| \le d(p_{n_k},p). \qquad (1)$$ Desde $d(p_{n_k},p) \to 0$ , de $(1)$ Debemos tener $d(p_{n_k},q) \to d(p,q) \in \Bbb R$ . Por lo tanto, $(d(p_n,q))$ tiene una subsecuencia convergente, a saber $(p_{n_k})$ , según se desee.