demostrar la independencia lineal de los polinomios

Question

Dejemos que $f_1,...,f_k$ sean polinomios en el campo $K$ sin incluir el polinomio cero y $\deg f_i \neq \deg f_j$ por cada $i \neq j$ Demuestre que los polinomios $f_1,...,f_k $ son linealmente independientes.

No sé cómo utilizar la información que $\deg f_i \neq \deg f_j$ .

Intentaré considerar una combinación lineal $a_1f_1+...+a_kf_k=0$ y demostrar que entonces $a_1=...=a_k=0$ pero no sé cómo derivarlo.

Answer 1

Supongamos que $f_1 ,f_2 ,...,f_k$ son linealmente dependientes y dejemos que $f_j $ sea el polinomio cuyo grado sea el mayor entonces $f_j = c_1f_1+ ...c_{j-1}f_{j-1} + c_{j+1}f_{j+1}+.... +c_{k}f_{k}$ pero el grado del lado derecho es menor que el del lado izquierdo y esto es una contradicción