¿Cuántas veces pueden intersecarse funciones estrictamente convexas en un intervalo acotado?

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sean dos funciones estrictamente convexas sobre un intervalo abierto $(a,b)$ . Supongamos que $f$ y $g$ no son idénticos. ¿Podemos encontrar un límite superior sobre el número de veces que estas dos funciones pueden intersecarse en $(a,b)$ ?

Podemos suponer que ambas funciones son analíticas en $(a,b)$ . Esta suposición hace que el problema no sea trivial.

Hay una pregunta relacionada aquí pero se trata de $\mathbb{R}$ y no $(a,b)$ .

Editar: Además, ¿puede ayudar la suposición de que una de las funciones es estrictamente creciente?

Answer 1

Un número incontablemente infinito de veces.

Considere el intervalo $[-1,1]$ . Sea $f(x)=x^2$ .

Y que $$g(x)=\left\{\begin{eqnarray} x^2 & \text{ if } x < 0 \\ 2x^2 & \text{ otherwise }\end{eqnarray}\right..$$

Estas funciones se cruzan un número incontablemente infinito de veces en el intervalo $[-1,0]$ .

Answer 2

Restringiendo el ejemplo dado en la respuesta de la pregunta relacionada a algún intervalo $(a,b)$ que se cruza con $(-1,1)$ pero no está contenida en ella. Para cualquier otro $(a,b)$ Sólo hay que reescalar y desplazar (lo que no rompe la analidad).

Sin embargo, añadir la condición de analiticidad sí que cambia la respuesta (suponiendo que estás requiriendo $f$ y $g$ no sea la misma función: como las continuaciones analíticas son únicas, si $f = g$ en algún subintervalo $(c,d)$ entonces $f = g$ en todas partes (véase aquí ). Por lo tanto, este contraejemplo no puede funcionar. Además, no es difícil ver que ésta es la única forma en que podemos tener incontables puntos de intersección.

[NOTA: Es muy posible que haya algo mal al final del siguiente párrafo. Estaría muy agradecido si alguien que sepa más que yo de funciones analíticas reales lo comprobara y me dijera cómo arreglarlo: Mantengo esto aquí porque el resto de la respuesta es correcta, y tengo la fuerte impresión de que hay es alguna forma de arreglar esta parte]

Tampoco se pueden tener infinitos puntos contables en los que $f$ y $g$ coinciden en un intervalo acotado $(a,b)$ Si lo haces, entonces hay una secuencia convergente $(a_n)\to c$ de dicho punto (ya que cualquier enumeración de los puntos da una secuencia acotada, que tiene una subsecuencia convergente). O bien cada uno de esos $(a_n)$ es finalmente constante, o no. En el primer caso, debe haber algún $\delta > 0$ tal que para todos los puntos $x\neq y$ tal que $f(x) = g(x)$ y $f(y) = g(y)$ tenemos $|x - y| > \delta$ pero no puede haber infinitos puntos de este tipo en un intervalo acotado, una contradicción. Por lo tanto, tenemos alguna subsecuencia convergente que no es eventualmente constante, por lo tanto $\{x \in (a,b) | f(x) = g(x)\}$ tiene algunos puntos de acumulación. [NOTA: Aquí es donde me equivoqué en mi intento inicial de escribir esto]. Siento que ahora hay una manera de concluir que $f = g$ pero no estoy seguro de cómo exactamente.

Sin embargo, puedes tener cualquier número finito que quieras: toma $f(x) = x^2 + \sin(x)$ y $g(x) = x^2 - \sin(x)$ . Entonces ambos $f$ y $g$ son analíticas y convexas, pero $f(x) = g(x)$ siempre que $x = n\pi$ para cualquier número entero $n$ . Así, $(0,(n+1)\pi)$ contiene $n$ puntos en los que $f = g$ y esto puede ser mapeado por algo que no rompe la convexidad o la analiticidad a cualquier $(a,b)$ .