Convergencia uniforme de funciones en una semirrecta, utilizando el teorema de Dini

Question

Dejemos que $f_n(x) =\sqrt[n] {1+x^n}$ definido para $x\geq0. $

en el sentido de la palabra; $f_n(x) \rightarrow f(x)=\begin{cases} 1,x\in[0,1)\\ x , x\geq 1 \end{cases} $

Me preguntaba sobre la convergencia uniforme. $f_n$ son monótonos (en relación con $n$ ) para cualquier $x\in[a,b]$ para cualquier $a,b\geq0$ , (Disminuyendo para $x\leq1$ y aumentando para $x>1)$ y $f$ es continua, por lo que podemos utilizar el teorema de Dini para demostrar la convergencia uniforme, en el intervalo cerrado $[a,b]$ . Sin embargo, ¿significa esto que $f_n$ convergen uniformemente en $(0,\infty$ )?

El ejemplo anterior es sólo un ejercicio con el que tropecé y que me llevó a esta pregunta, preferiría tener una respuesta general si sabemos que $f_n$ son monótonos (en relación con $n$ ) para cualquier $x\in[a,b]$ para cualquier $a,b\geq0$ ¿Implica esto que $f_n$ convergen uniformemente en $(0,\infty$ )?

Answer 1

El teorema de Dini establece que si $(g_n)_n$ es una secuencia monótona de funciones continuas $g_n : [a,b] \to \mathbb{R}$ convergiendo puntualmente a $g : [a,b] \to \mathbb{R}$ , entonces la convergencia es uniforme.

En su ejemplo con Dini sólo se puede concluir que $f_n|_{[0,1]} \to 1$ uniformemente en $[0,1]$ y que $f_n|_{[a,b]} \to x$ uniformemente en todos los segmentos $[a,b] \subseteq [1, +\infty)$ .

Sin embargo, la convergencia es efectivamente uniforme en $[0, +\infty)$ . Para demostrarlo, hay que tener en cuenta que para $x \ge 1$ tenemos

$$1 = (1+x^n) - x^n = \left(\sqrt[n]{1+x^n}\right)^n - x^n = \left(\sqrt[n]{1+x^n} - x\right)\sum_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{1+x^n}\right)^{n-k}x^k \ge n \left(\sqrt[n]{1+x^n} - x\right)$$

así que $\sqrt[n]{1+x^n} - x \le \frac1n \xrightarrow{n\to\infty} 0$ uniformemente en $[1, +\infty)$ . Esto, junto con la convergencia uniforme $f_n|_{[0,1]} \to 1$ da $f_n \to f$ uniformemente en $[0, +\infty)$ .

En general, si $g_n \to g$ en punto a $(0, +\infty)$ y uniformemente en todos los segmentos $[a,b] \subseteq (0, +\infty)$ no se deduce que la convergencia sea uniforme en $(0, +\infty)$ .

Un ejemplo es la secuencia de sumas parciales de la función exponencial $g_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k!}$ . Entonces $g_n \to \exp$ uniformemente en todos los segmentos $[a,b] \subseteq (0, +\infty)$ : $$\exp(x) - g_n(x) = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!} \le \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b^k}{k!} \xrightarrow{n\to\infty} 0$$ pero la convergencia no es uniforme en $(0, +\infty)$ . He discutido este ejemplo ici .