Propiedad de Markov fuerte para cadenas de Markov - Verificación de declaraciones

Question

Sospecho que mis notas de clase escritas a mano para la propiedad de Markov fuerte están equivocadas. Agradecería que se corrigieran.

Primero definimos lo siguiente:

Una variable aleatoria $\tau$ se llama tiempo de parada si $\{\tau \leq n\}$ depende sólo de $X_0, X_1, \ldots X_n$ .

Ahora enunciamos el teorema:

Supongamos que tenemos una cadena de Markov $(X_n)$ con una matriz de probabilidad transitoria $P$ , distribución inicial $\lambda$ y el tiempo de parada $\tau$ . Dejemos que $f = f(X_\tau, X_{\tau +1}, X_{\tau + 2}, \ldots)$ sea una función, entonces $\mathbb{E}_\lambda[f(X_\tau, X_{\tau + 1}, X_{\tau + 2}, \ldots) \mid X_0, X_1, \ldots, X_\tau] = \mathbb{E}_\color{red}{X_\tau}[f(X_0, X_1, X_2, \ldots)]$ .

Lo marcado en rojo es lo que creo que está mal. En su lugar, debería ser $\tau$ ? ¿Hay algún otro error en el enunciado de este teorema?

Answer 1

La afirmación es correcta con $X_\tau$ pero hay que leerlo con atención. El LHS es una expectativa condicional, por lo tanto una variable aleatoria, así que para algunos $\omega \in \Omega$ tienes que $\mathbb{E}(f(X_{\tau+1}, \ldots) \mid \mathcal{F}_\tau) = \mathbb{E}_{X_{\tau}(\omega)}(f(X_0, \ldots))$ es decir, se puede reiniciar la cadena de Markov en algún punto aleatorio y evaluar la expectativa condicional conociendo el estado actual $X_\tau(\omega)$ .

Véase también, por ejemplo, Durrett, Probability - Theory and Examples, apartado 6.3.