Deje $k$ ser un campo y $K=k(x_0,x_1,\ldots, x_n)[x]$. Definir $$\mathcal{L}_k(x)\triangleq \prod_{\substack{j=0\\ j\ne k}}^n\frac{x-x_j}{x_k-x_j}.$$
Hay una puramente combinatoria manera de mostrar que $$\sum_{k=0}^n\mathcal{L}_k(x)=1?$$
Es decir, me gustaría considerar la $\mathcal{L}_k(x)$ como formal polinomios, no como funciones. Soy consciente de la prueba por interpolación, pero creo que debe haber una interesante combinatoria prueba utilizando el recuento de los argumentos con los índices.
Mi intento.
Para agregar directamente los sumandos juntos, tenemos un denominador común. Vamos $R_n=\{0,\ldots, n\}$, $S=\{(i,j)\in R_n\times R_n |j<i\}$, y $S_k=\{(i,j)\in S | i=k\text{ or }j=k\}$.
En primer lugar, tenga en cuenta que
$$\begin{eqnarray*}\prod_{\substack{j=0\\ j\ne k}}^n\frac{1}{x_k-x_j}&=&
\prod_{\substack{j=0\\ j< k}}^n\frac{1}{x_k-x_j}\prod_{\substack{j=0\\ j> k}}^n\frac{1}{-(x_j-x_k)}\\&=&\prod_{j=0}^{k-1}\frac{1}{x_k-x_j}\prod_{j=k+1}^n\frac{1}{-(x_j-x_k)}\\
&=&(-1)^{n-k}\prod_{(i,j)\in S_k}\frac{1}{x_i-x_j}
\end{eqnarray*}$$
Para obtener un denominador común, nosotros por eso se multiplica cada término por $$\frac{\prod_{(i,j)\in S\setminus S_k}x_i-x_j}{\prod_{(i,j)\in S\setminus S_k}x_i-x_j}$$
para obtener el $$\prod_{j<i}\frac{1}{x_i-x_j}\sum_{k=0}^n\left((-1)^{n-k}\prod_{\substack{j=0\\ j\ne k}}^n(x-x_j)\prod_{(i,j)\in S\setminus S_k}(x_i-x_j)\right)$$
...y aquí es donde me pueda quedar atrapado, no puede pensar en una forma de continuar.
