Álgebras de división normadas de dimensión infinita

Question

Digamos que un álgebra de la división normada es un espacio vectorial real $A$ equipado con un producto bilineal, un elemento $1$ tal que $1a = a = a1$ y una norma que obedece a $|ab| = |a| |b|$ .

Sólo hay cuatro álgebras de división normadas de dimensión finita: los números reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones. Esto fue demostrado por Hurwitz en 1898:

• Adolf Hurwitz, Sobre la composición de formas cuadráticas de cualquier número de variables, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen (1898), 309-316.

¿Existen álgebras de división normadas de dimensión infinita? Si es así, ¿cuántas hay?

Answer 1

Una búsqueda en MathSciNet revela un artículo de Urbanik y Wright ( Álgebras de valor absoluto. Proc. Amer. Math. Soc. 11 (1960), 861-866 ) donde se demuestra que un álgebra real normada arbitraria (con unidad) es de hecho un álgebra de división de dimensión finita, por lo que es una de las cuatro mencionadas en el PO. Una pieza clave del argumento (Teorema 1) es mostrar que tal álgebra $A$ es algebraico en el sentido de que si $x \in A$ entonces la subálgebra de $A$ generado por $x$ es de dimensión finita. Los autores invocan entonces un teorema de A. A. Albert que afirma que un álgebra unital es un álgebra de división de dimensión finita.

Answer 2

El teorema de Hurwitz es el siguiente aquí (sección 2.6 de 'A taste of Jordan algebras' de Kevin McCrimmon) como:

Cualquier álgebra de composición $C$ sobre un campo $\Phi$ de característica no 2 tiene dimensión finita $2^n$ para $n=0,1,2,3$ y es uno de los siguientes ...

pasa a describir generalizaciones de las álgebras de división normalizadas habituales.

La página de wikipedia álgebra de composición nos dice que sólo se tiene un álgebra de composición unidimensional cuando la característica del campo base no es 2, pero en caso contrario se puede partir de un álgebra de composición bidimensional sobre un campo de característica 2 y realizar la habitual Construcción Cayley-Dickson .

Edición: El siguiente teorema fue demostrado por Kaplansky ( Formas cuadráticas de dimensión infinita que admiten la composición , Proc AMS 1953 ), que remata la clasificación. Una forma cuadrática $g$ en un álgebra $A$ sobre un campo $F$ en este contexto es una función $g:A \to F$ tal que $g(kx) = k^2g(x)$ para $k\in F$ y $x\in A$ .

Teorema. Sea $A$ sea un álgebra con elemento unitario sobre un campo $F$ . Supongamos que $A$ lleva una forma cuadrática no singular $g$ satisfaciendo $g(xy) = g(x)g(y)$ para todos $x, y \in A$ . Entonces:
(a) A es alternativa,
(b) salvo en el caso de que $A$ tiene característica dos y es un campo puramente inseparable sobre $F$ , $A$ es de dimensión finita y de dimensión 1, 2, 4 u 8,
(c) $A$ es simple o la suma directa de dos copias de $F$ ,
(d) $g(x) = x^\ast x$ donde $x\mapsto x\ast$ es una involución de $A$ .

Así que a menos que su campo base tenga la característica 2, y su álgebra de división sea una extensión puramente inseparable del campo base, su álgebra de división tiene que ser de dimensión finita.

Answer 3

El caso asociativo se desprende del Teorema de Mazur (véase aquí ). Demostró que existen hasta el isomorfismo precisamente tres álgebras de división de Banach, a saber $\mathbb R,\mathbb C$ y $\mathbb H$ . Esto se aplica a la terminación de cualquier álgebra de división normada, que sigue verificando la identidad $|ab|=|a||b|$ y, por tanto, es un álgebra de división.