Duda al encontrar el rango de $f(x)=\cos^2x+4\sec^2x$ utilizando la desigualdad AM-GM

Question

Me pidieron que encontrara el rango de $$f(x)=\cos^2x+4\sec^2x$$

He convertido la expresión dada a

$$f(x)=\cos^2x+\frac{4}{\cos^2x}$$ y luego apliqué la desigualdad AM-GM pero cuando comprobé si la igualdad se mantendrá o no encontré que para la igualdad $\cos x=\pm\sqrt{2}$ que no es posible, por lo que no puedo encontrar el rango de expresión de aquí.

Pero cuando repetí el mismo procedimiento escribiendo $f(x)=4\sec^2x+\frac{1}{\sec^2x}$ . Encontré que la condición de desigualdad también se satisface y puedo escribir fácilmente el rango.

Quiero saber por qué no puedo tener alcance desde mi primer intento.

Answer 1

La condición de desigualdad sigue sin cumplirse. $\sec x\neq \pm \frac {1}{\sqrt 2}$ como rango de $\sec x$ es $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ .

Mi consejo sería escribir la expresión como $(\cos x+ 2\sec x)^2-4$ y tratar de proceder a partir de ahí.

Answer 2

Como $|\sec x| \geq 1$ , AM-GM sigue sin dar la solución. Como tienes que encontrar el rango,

Tenga en cuenta que $f(x) = \cos^2 x + 4 \sec^2 x \geq 0$ .

Reescribimos como $f(x) = (\cos x - 2 \sec x)^2 + 4 \geq 5$ .

como $|\cos x - 2\sec x| \geq 1$ (¿puede ver por qué?) y la igualdad se produce en $x = n \pi$ .

Answer 3

Ya tienes buenas respuestas, necesitas que la igualdad también ocurra al usar AM-GM para obtener el mínimo. Aquí hay una forma de utilizar AM-GM: como $\cos^2 x \leqslant \sec^2x$ con la igualdad posible sólo cuando ambos $=1$ puede obtener una pista sobre cómo aplicar AM-GM.

$$f(x) = (\cos^2x + \sec^2x)+3\sec^2x \geqslant 2+3=5$$

donde la igualdad es cuando $\cos^2x=1 \iff x = n \pi$ para $n \in \mathbb N$ .