Energía cinética rotacional de una barra rígida

Question

Consideremos una barra rígida (infinitamente delgada y con densidad de masa uniforme) de longitud $L$ con $x_1(t), x_2(t) \in \mathbb{R}^3$ cada una de las cuales describe las posiciones de un extremo de la barra en un marco inercial fijo en el momento $t$ .

El vector $q(t) := \frac{x_2(t) - x_1(t)}{L}$ es una curva en la esfera unitaria $S^2$ que describe la orientación de la barra. Los vectores $\dot{q}(t)$ y $\omega(t) := q(t) \times \dot{q}(t)$ describen la velocidad y la velocidad angular de la barra con respecto al marco inercial.

Mi pregunta es, ¿cuál es la energía cinética de rotación de la barra en función de estas variables? De las fórmulas que conozco, me gustaría decir que es sólo:

$$KE_{rot} = \frac13 mL^2 ||\omega||^2$$

Pero hace años que no trabajo con este material y estoy bastante oxidado.

Answer 1

Dejemos que $K$ denotan la energía cinética rotacional total de la varilla giratoria (con densidad de masa $\lambda$ ). Tome $x_1(t)$ para ser el eje de rotación (fijo) de la varilla. Para simplificar, suponemos que la magnitud de la velocidad angular de la varilla, $|\omega(t)|$ es una constante.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que como $q(t)$ es un vector unitario, tenemos que

\begin{equation} \frac{d |q(t)|^2}{dt} = \frac{d (q(t) \cdot q(t))}{dt} = \frac{d(q(t))}{dt} \cdot q(t) + \frac{d(q(t))}{dt} \cdot q(t) = 2 \frac{d(q(t))}{dt} \cdot q(t) = 0 \;\; \; (\textrm{i}) \end{equation}

Eso es, $ \frac{d(q(t))}{dt} \cdot q(t) = 0$ Así que $\frac{d(q(t))}{dt}$ y $q(t)$ son perpendiculares.

Desde $\omega(t) = q(t) \times \frac{d(q(t))}{dt}$ tenemos que

\begin{equation} |\omega(t)| = |q(t)| * |\frac{d(q(t))}{dt}| * \sin(\frac{\pi}{2})= |\frac{d(q(t))}{dt}| \;\; \; (\textrm{ii}) \end{equation}

Para calcular $K$ imaginamos dividir la varilla en trozos infinitesimales de masa $dm$ . Supongamos que este elemento de masa tiene un vector de desplazamiento $x(t)$ del eje de rotación. Ahora, podemos calcular $x(t)$ utilizando geometría vectorial simple:

\begin{equation} x(t) = x_1(t) + |x(t)-x_1(t)| q(t) \;\; \; (\textrm{iii}) \end{equation}

Utilizando la ecuación (iii), tenemos que la velocidad $v(t)$ de este trozo viene dado por

\begin{equation} v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac {d(x_1(t))}{dt} + \frac{d(|x(t)-x_1(t)|)}{dt} q(t) + |x(t)-x_1(t)|\frac{d(q(t))}{dt} \;\; \; (\textrm{iv}) \end{equation}

Pero $\frac{d(|x(t)-x_1(t)|)}{dt} = 0$ para nuestro elemento de masa (por qué). Además, $\frac{d(x_1(t))}{dt} = 0$ para el eje de rotación es fijo. Por lo tanto, la ecuación (iv) se convierte en

\begin{equation} v(t) = |x(t)-x_1(t)|\frac{d(q(t))}{dt} \; \; \; (\textrm{iv}) \end{equation}

Podemos calcular fácilmente la magnitud de $v(t)$ :

\begin{equation} |v(t)| = |x(t)-x_1(t)| * |\frac{d(q(t))}{dt}| = |x(t)-x_1(t)| * |\omega(t)| \; \; \; (\textrm{v}) \end{equation}

La energía cinética $dK$ del elemento de masa viene dado entonces por \begin{equation} dK = \frac{1}{2} dm |v(t)|^2 = \frac{1}{2} dm |x(t)-x_1(t)|^2 * |\omega(t)|^2 \; \; \; (\textrm{vi}) \end{equation}

Ahora imponemos un nuevo sistema de coordenadas a la varilla. Imaginemos que colocamos la línea real $r$ a lo largo de la varilla, con $r = 0$ siendo el eje de rotación. Entonces tiene sentido establecer $|x(t) - x_1(t)| = r$ (para el elemento de masa es una distancia arbitraria $r$ del eje de rotación). Con estas sustituciones, la ecuación (vi) queda como sigue \begin{equation} dK = \frac{1}{2} dm r^2 \omega^2 \; \; \; (\textrm{vii}) \end{equation}

(Aquí, $\omega = |\omega(t)|$ ).

Ahora, por fin podemos calcular $K$ integrando las energías cinéticas de cada trozo de masa a lo largo de la varilla.

\begin{equation} K = \int dK = \int_{0}^{L} \frac{1}{2} dm r^2 \omega^2 = \int_{0}^{L} \frac{1}{2} (\lambda dr) r^2 \omega^2 = \frac{1}{2} \lambda \omega ^2 \int_{0}^{L} r^2 dr =\frac{1}{6} \lambda \omega^2 L^3 \; \; \; (\textrm{viii}) \end{equation}

Desde $\lambda L = m$ tenemos que

\begin{equation} K = \frac{1}{6} m \omega^2 L^2 \end{equation}