Conjeturas principales de Iwasawa frente a las conjeturas de Bloch-Kato

Question

Dejemos que $p$ sea un primo, $K$ sea un campo numérico, $S$ un conjunto finito de lugares finitos de $K$ que contiene el conjunto $S_p$ de plazas por encima de $p$ y los lugares en el infinito, $G:=G_{K,S}$ el grupo de Galois de la extensión máxima de $K$ sin clasificar en el exterior $S$ , $\rho: G_K \rightarrow Gl_d({\mathbb Q}_p)$ una representación geométrica irreducible de $G_K$ . Para $n$ cualquier número entero, $\rho(n)$ es el giro de Tate de $\rho$ Es decir $\rho$ tensor el carácter ciclotómico a la potencia $n$ .

El grupo Bloch-Kato Selmer de $\rho$ , denotado $H^1_f(G,\rho)$ se define como un subespacio explícito de $H^1(G,\rho)$ (cohomología continua): $$H^1_f(G,\rho) = \ker \left(H^1(G,\rho) \rightarrow \prod_{v \in S_K-S_p} H^1(I_v,\rho) \times \prod_{v \in S_p} H^1(D_v, \rho \otimes B_{crys})\right),$$ donde $D_v$ , $I_v$ son respectivamente un subgrupo de descomposición y un subgrupo de inercia en $v$ de $G$ , y el $\rightarrow$ es el producto de los mapas de restricción.

La primera afirmación de la conjetura de Bloch-Kato es (para todo $n \in \mathbb{Z}$ ):

CONJUNTO: $\dim H^1_f(G_K,\rho(n)) - \dim H^0(G_K,\rho(n)) = \text{ord}_{s=1-n} L(\rho^\ast,s).$

Aquí $L(\rho,s)$ es el complejo $L$ -(suponemos que tiene una continuación meromórfica sobre $\mathbb{C}$ )

Hay otras afirmaciones sobre los valores principales de la función L en $1-n$ que no considero aquí. Nótese que esta conjetura es obviamente invariante por giros de Tate. Además, la $H^0$ El término es $0$ excepto si $\rho(n)$ es la representación trivial.

Ahora llego a mi pregunta: Está claro que las principales conjeturas de Iwasawa (con lo que me refiero no sólo la conjetura original de Iwasawa sobre la teoría de Kubota-Leopoldt $\zeta$ -función, sino sus modernas generalizaciones) pertenece al mismo círculo de ideas. Pero, ¿qué es exactamente la relación?

Para precisar mi pregunta, consideremos fijar ideas La forma de la conjetura principal de Greenberg, tal y como se expone para los ejemplos en su artículo en Motives. Una condición sobre $\rho$ , llamada condición de Panchiskin, es necesaria para formular la conjetura. Entonces se define un grupo Selmer como un módulo sobre el álgebra de Iwasawa $\Lambda$ y se conjetura que este módulo es cofinito y está relacionado con el $p$ -adic $L$ -función de $\rho$ . Desafortunadamente, los teóricos de Iwasawa tienden a usar un lenguaje diferente que los teóricos de Bloch-Kato: trabajan con módulos como $\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ en lugar de $\mathbb{Z}_p$ ou $\mathbb{Q}_p$ y propiedades como cofinito en lugar de finito (perhpaps son comáticos). Después de tomar la cohomología, las familias, etc., la traducción entre los dos lenguajes no es nada transparente. Sin embargo, sé que las conjeturas principales de Iwasawa tienen consecuencias que pueden enunciarse de forma muy similar a la conjetura de Bloch-Kato.

¿Puedes enunciar tal consecuencia de la conjetura principal de Iwasawa en un lenguaje más cercano a Bloch-Kato, precisamente : relacionando (probablemente en un sentido más débil que en BK) la dimensión de un grupo Selmer adecuado definido como un subespacio de $H^1(G,\rho(n))$ cortada por condiciones locales con el orden de desaparición de la función L p-ádica de $\rho^\ast$ (suponiendo que exista) en algunos puntos ( $1-n$ ?). ¿O hay algo así escrito en algún sitio?

Pido disculpas porque mi pregunta es al mismo tiempo técnica y elemental. Sin embargo, una respuesta me ayudaría mucho, y posiblemente pueda ayudar a otras personas que quieran hacerse una idea global de este tipo de conjeturas, y de los progresos realizados hasta ahora. Por ejemplo, mi pregunta contiene como caso especial

¿Qué implica la conjetura principal de Iwasawa para las curvas elípticas ordinarias para la conjetura BSD?

Answer 1

Si entiendo bien su pregunta, creo que se sabe mucho. Permítame resumir lo que entiendo sobre esta imagen.

En primer lugar, una breve respuesta a su pregunta. Al contrario de lo que pides, no se espera que la dimensión de un subespacio de $H^{1}$ cortada por las condiciones locales debe expresar el orden de desvanecimiento de la $p$ -adic $L$ -función.

Empecemos con la conjetura de Bloch-Kato. Esta conjetura puede interpretarse como una descripción de invariantes cohomológicos de motivos utilizando valores especiales de la $L$ -(mucha gente piensa en ello de forma inversa, como descripción de valores especiales de la $L$ -en términos de invariantes de Galois). La primera pregunta que hay que hacerse es "¿qué invariantes cohomológicas estamos tratando de describir?" y la respuesta más razonable es "el complejo $C$ de cohomología motivacional con soporte compacto" (que no se sabe si existe en general). Entonces el orden de desaparición de la $L$ -da la característica de Euler de $C\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R$ mientras que el $p$ -Valoración de la duración principal de la $L$ -(dividido por el período definido en Bloch-Kato) es un $\mathbb Z_{p}$ -base del determinante de $C\otimes_{\mathbb Q}\mathbb Q_{p}$ (más precisamente, de la inversa del determinante). Aunque todo esto ya lo sabías, me ha parecido necesario recordarlo para exponer qué formas adopta la CIM en este contexto.

Supongamos ahora que nuestro $p$ -Representación de Galois de los ádicos $V$ proviene de un motivo puro y es cristalino en $p$ (Me doy cuenta de que no quieres hacer una suposición tan fuerte, pero creo que todo lo que voy a decir seguirá siendo válido, al menos conjeturalmente). Como ya se ha señalado en los comentarios, y como usted sabe, la CIM dirá algo sobre la interpolación de la conjetura de Bloch-Kato en un $\mathbb Z_{p}$ -(o más generalmente en un espacio de deformación universal). Aquí sólo trataré el caso de la extensión ciclotómica $\mathbb Z_{p}$ -extensión. Dentro de $D_{cris}(V)$ se sienta $D^{\phi=p^{-1}}$ . Sea $e$ denota la dimensión de este espacio sobre $\mathbb Q_{p}$ . Entonces el objeto cohomológico descrito por los valores especiales de la (putativa) $p$ -adic $L$ -la función es el complejo Selmer $S$ de $V$ con las condiciones no ramificadas en los lugares $\ell≠p$ de las ramificaciones de $V$ y con la condición Bloch-Kato a nivel de complejo en $p$ .

Basándonos en Bloch-Kato, deberíamos esperar que la característica de Euler de $S$ evaluado en un carácter (es decir, de $S\otimes_{\Lambda}\mathbb Z_{p}[\chi]$ ) para ser el orden de fuga del $p$ -adic $L$ -y la función $p$ -adic $L$ -para dar una base de $\det_{\Lambda} S$ . Por desgracia, las cosas no son tan fáciles, debido al infame fenómeno de los ceros triviales. Así que lo que se puede demostrar (posiblemente asumiendo conjeturas plausibles o restringiéndose al rango como máximo 2 por el camino, haré un esfuerzo por afirmar algo realmente preciso si es necesario) es que, bajo Bloch-Kato, la característica de Euler de $S\otimes_{\Lambda}\mathbb Z_{p}[\chi]$ es igual al orden de desvanecimiento del $L$ -función torcida por $\chi$ (como se esperaba) más $e$ (esta es la contribución de los ceros triviales) $\textit{provided}$ el $\mathcal L$ -no desaparece (esto es, o debería ser, equivalente a la semi-simplicidad del complejo que da la condición local en $p$ ).

Dicho esto, tal vez quiera una respuesta concreta para una representación concreta. En ese caso, no hay nada más sencillo que una valiente representación ordinaria. Para la representación ordinaria, la condición local en $p$ para el complejo Selmer $S$ es simplemente $R\Gamma(G_{\mathbb Q_{p}},V)$ . Por lo tanto, el orden de desaparición de la $p$ -adic $L$ -en una función determinada $\chi$ debería ser simplemente el orden de fuga del $L$ -más la dimensión de $H^{0}(G_{\mathbb Q_{p}},V^{*}(1)/F^{+}V^{*}(1))$ más o menos términos simples (como los ceros o polos de los factores Gamma). Esto refleja el hecho de que en el caso genérico, el orden de desaparición de los $p$ -adic $L$ -debe ser la dimensión de la primera cohomología de $S$ (que no es un subespacio de $H^{1}$ (de ahí mi advertencia al principio).

Espero que esto haya ayudado de alguna manera.

Ahora, pasemos a su segunda pregunta. Creo que si sólo conocieras la IMC, entonces no podrías decir mucho sobre el orden de desaparición de la parte de Bloch-Kato. Sin embargo, si conocieras la IMC así como la no-degeneración de la $p$ -(necesario para formular la Conjetura del Número Equivariante de Tamagawa) así como la Conjetura del Número Equivariante de Tamagawa para cada capa de la extensión ciclotómica y/o la desaparición de la $\mu$ -invariante, entonces se seguiría la parte de orden de Bloch-Kato. Así es como trataría de demostrar esto. En primer lugar, definiría $S$ (no hay problema aquí, ya que estamos en el caso ordinario). Entonces construiría una trivialización canónica de este complejo en cada capa finita utilizando la no-degeneración del emparejamiento de alturas. Entonces utilizaría el ETNC (o deduciría el ETNC del IMC utilizando la desaparición del $\mu$ -) para demostrar que la imagen del determinante de $S$ en una capa finita bajo mi trivialización canónica es realmente el valor del término principal de la analítica $L$ -(tal vez por el tiempo que dura la función $\mathcal L$ -invariante, pero sabría que esto es distinto de cero por la semisimplicidad de mis complejos). De este modo, fabricaría un complejo $L$ -función que coincidiría con la ordinaria $L$ -en muchos puntos (no necesariamente clásicos) (esto requeriría presumiblemente el IMC y el ETNC no sólo para la extensión ciclotómica sino para la familia Hida que contiene $E$ ) y, por tanto, sería igual a ella. Ahora, sabría el orden de desaparición de mi complejo algebraico $L$ -en un punto clásico, para saber el orden de desaparición del complejo $L$ -función también para (¡por fin!) poder comprobar Bloch-Kato.

Así que, sí, si conocieras el ETNC de toda la familia Hida y/o la desaparición del $\mu$ -más la no-degeneración de la $p$ -altura emparejamiento, puede, creo, recoger la parte de orden de Bloch-Kato como un bono. Tal vez convenga ahora un momento de sobria reflexión.

De nuevo, espero que esto haya servido de ayuda (pero lo dudo de alguna manera).