$h^3$ término en la función de densidad de probabilidad del gas ideal

Question

Aparte de eso, necesitamos el $h^3$ para 1) hacer que las unidades sean correctas y 2) tener en cuenta la normalización de la distribución de probabilidad, ¿qué interpretación podemos dar a este $h^3$ término en

\begin{align} p(E_i) = \frac{1}{Z_1 h^3}\exp(-\beta E_i) \ , \end{align} con función de partición de 1 molécula $Z_1 = \frac{1}{h^{3}} \int_\mathbb{R^3} \int_\mathbb{R^3} \exp \Big(-\beta\frac{p^2}{2m}\Big) \ \mathrm{d\mathbf{r}} \ \mathrm{d\mathbf{p}} $ y energía $E_i$ de microestado $i$ .

En concreto, si la función de partición se define como la constante de normalización para obtener la distribución de probabilidad sobre las energías de los microestados, ¿cómo se ha llegado a la situación de tener que correcto para las unidades ?

Mi confusión radica en lo siguiente. $Z_1$ representa el número total de microestados de una sola molécula, donde hemos utilizado $h^3$ para denotar el volumen del espacio de fase de un solo estado. La suposición ingenua sería entonces suponer que la distribución de probabilidad de un microestado $i$ sería entonces dada por \begin{align} p(E_i) = \frac{1}{Z_1}\exp(-\beta E_i). \end{align}

Es decir, sin el $h^3$ factor que aparece explícitamente en la distribución de la probabilidad.

¿No hay una explicación mejor para la aparición de la $h^3$ factor en $p$ Además de eso, tenemos que anular el $h^3$ factor en $Z_1$ ?

Answer 1

La expresión correcta es

$$p(\mathbf p ,\mathbf q)= \frac{e^{-\beta H}}{\int \int d \mathbf p d \mathbf q \ e^{-\beta H}}$$

ya que la integral de ésta es $1$ .

Pero también te gustaría escribir $Z$ como una cantidad adimensional, ya que debe representar el número de microestados. Como la integral

$$\int \int d \mathbf p d \mathbf q \ e^{-\beta H}$$

tiene la dimensión del cubo de la acción, se necesita una cantidad con la dimensión del cubo de la acción para hacerla adimensional. Por lo tanto, se define $Z$ como

$$Z \equiv \frac 1 {h^3} \int \int d \mathbf p d \mathbf q \ e^{-\beta H}$$

Por lo tanto, escribirá

$$p(\mathbf p ,\mathbf q)= \frac{e^{-\beta H}}{\int \int d \mathbf p d \mathbf q \ e^{-\beta H}} = \frac{e^{-\beta H}} {Z h^3}$$

En principio, nada impide definir una función de partición dimensional $Z'$ :

$$Z' \equiv \int \int d \mathbf p d \mathbf q \ e^{-\beta H}$$

y escribir

$$p(\mathbf p ,\mathbf q)= \frac{e^{-\beta H}}{\int \int d \mathbf p d \mathbf q \ e^{-\beta H}} = \frac{e^{-\beta H}} {Z'}$$

Así que, al final, sólo se trata de ser coherente, pero en principio se puede utilizar la notación que se prefiera.