Es $F(t)=\int_0^{\infty} \frac{e^{-tx^3}}{1+x^4}dx$ bien definido en $(0,\infty)$ ?

Question

He $F(t)=\int_0^{\infty} \frac{e^{-tx^3}}{1+x^4}dx$ y tengo que ver que está bien definido en el intervalo $(0,\infty)$ .

Para ello, he definido $f(x,t)=\frac{e^{-tx^3}}{1+x^4}, x,t\in(0,\infty) $ así que tengo que ver si $f$ es integrable en $(0,\infty)$ .

Sabemos que $f$ es integrable en $(0,\infty)$ $\leftrightarrow$ $\int_{(0,\infty)}|f|d\mu<\infty$

$f(x,t)=|\frac{e^{-tx^3}}{1+x^4}|=\frac{e^{-tx^3}}{1+x^4}\le e^{-tx^3}$

Pero, ¿cómo puedo atar esto? Tengo que acotarlo con una función integrable... pero no sé cómo calcular la integral de $e^{-tx^3}$ ... ¿Existe alguna otra forma más fácil de limitarlo? ¿O cómo puedo resolver mi problema?

Answer 1

Una pista: $\int_0^{1}e^{-tx^{3}} dx \leq \int_0^{1} 1 dx$ y $\int_1^{\infty} e^{-tx^{3}} dx \leq \int_1^{\infty} e^{-tx} dx $

Para demostrar la continuidad de $F$ es suficiente para demostrar la continuidad en $(r,\infty)$ para cada $r>0$ . Cuando $t>r$ tenemos $|f(x,t)| \leq \max \{1_{0<x<1}, e^{-rx}\}$ . Ahora aplique el DCT para demostrar la continuidad secuencial de $F$ .

Answer 2

Se puede acotar el integrando con $\frac{1}{1+x^4}$ o con $1$ en $[0,\,1)$ , $x^{-4}$ en $[1,\,\infty)$ .

Answer 3

En pocas palabras, siempre que $t,x\in(0,\infty)$ $$\frac{e^{-tx^3}}{1+x^4}\leq \frac{1}{1+x^4}$$ Por lo tanto, $$\int_0^\infty \frac{e^{-tx^3}}{1+x^4}\mathrm dx\leq\int_0^\infty\frac{1}{1+x^4}\mathrm dx \\ F(t)=\int_0^\infty \frac{e^{-tx^3}}{1+x^4}\mathrm dx\leq \frac{\pi}{2^{3/2}}\\ \forall t\in(0,\infty)$$ Mostrar la continuidad es un poco más difícil. Si quiere demostrar $F$ es continua, por ejemplo, $t_0$ debe demostrar que $\forall \epsilon>0$ , $\exists \delta>0$ tal que $$|t-t_0|<\delta\implies |F(t)-F(t_0)|<\epsilon$$ Veamos si podemos llegar a algunos límites para $|F(t)-F(t_0)|$ . En primer lugar, es fácil ver que $F$ es decreciente. Por lo tanto, supongamos que $t<t_0$ primero. Entonces $$|F(t)-F(t_0)|=F(t)-F(t_0) \\ =\int_0^\infty\frac{\exp(-tx^3)-\exp(-t_0x^3)}{1+x^4}\mathrm dx \\ \leq\int_0^\infty\left(\exp(-tx^3)-\exp(-t_0x^3)\right)\mathrm dx$$ Por lo tanto, es pertinente mirar la integral $$\int_0^\infty e^{-tx^3}\mathrm dx$$ Hacer el cambio de variable $$z=tx^3 \\ \implies \mathrm dz=3tx^2\mathrm dx\implies \mathrm dx=\frac{\mathrm dz}{3tx^2} \\ \implies \mathrm dx=\frac{\mathrm dz}{3t((z/t)^{1/3})^2}=\frac{z^{-2/3}\mathrm dz}{3t^{1/3}}$$ Así que $$\int_0^\infty e^{-tx^3}\mathrm dx=\frac{1}{t^{1/3}}\frac{1}{3}\int_0^\infty z^{1/3-1}e^{-z}\mathrm dz$$ Así que tenemos una regla de proporcionalidad para esta integral $$\int_0^\infty e^{-tx^3}\mathrm dx \propto t^{-1/3}$$ De hecho, esta constante de proporcionalidad es $$\frac{1}{3}\int_0^\infty z^{1/3-1}e^{-z}\mathrm dz=\frac{1}{3}\Gamma(1/3)=\Gamma(4/3)$$ Por lo tanto, $$F(t)-F(t_0)\leq \Gamma(4/3)\left(t^{-1/3}-{t_0}^{-1/3}\right)$$ Esto ya debería ser suficiente para demostrar la continuidad. A continuación, haz este trabajo de forma idéntica para el $t_0<t$ caso y ya está.