$(\mathbb{R},T)$ ¿Metrizable?

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Dejemos que $T$ sea la topología generada por el $[a,b)$ con $a \in \mathbb{Q}$ y $b \in \mathbb{R}$ . Es $(\mathbb{R},T)$ ¿Metrizable?

No estoy seguro. Estaba pensando en aplicar la metrización de Urysohn. Este espacio es definitivamente Hausdorff. También creo que es contable en segundo lugar (tomar puntos finales racionales). No estoy seguro de que sea regular.

¿Estoy en el camino correcto?

Answer 1

De hecho, los intervalos $[a,b)$ con ambos extremos racionales dan una base contable de la topología. Y estos intervalos son cerrados, por lo que cada punto tiene una base de vecindad que consiste en vecindades cerradas, es decir, el espacio es regular.

Answer 2

Este espacio tiene una base contable $$\{[a,b): a , b \in \mathbb{Q}\}$$

como $$[a,b)= \bigcup\{[a,c): a < c < b, c \in \Bbb Q\}$$ por lo que podemos escribir todos los conjuntos abiertos generadores como una unión de conjuntos abiertos básicos.

Todo $[a,b), a,b \in \Bbb Q$ son clopen, por lo que $\Bbb R$ es regular en esta topología, ya que tenemos una base local de conjuntos cerrados. Entonces Urysohn implica que nuestro espacio es metrizable.

También está bastante claro que $\Bbb R$ no tiene una base local de barrios compactos en ningún punto. También está bastante claro que nuestro espacio es Baire pero es completamente metrizable, se seguiría por un teorema clásico que $\Bbb R$ en esta topología es homeomorfo a los irracionales en la topología habitual. Así que esa sería para mí la pregunta interesante aquí: ¿es completamente metrizable?