Encontrar una matriz de un determinante impar

Question

Estoy tratando de encontrar una matriz cuadrada de tamaño $n$ formado por ceros y unos cuyo determinante es un número impar. ¿Alguna idea?

Answer 1

Todas las matrices de identidad tienen determinante $1$ .

En general, todos los permutación las matrices tienen determinante $\pm1$ Y recuerda que añadir un múltiplo de cualquier fila a cualquier otra fila no cambia el determinante. Esto ya debería darte muchos, muchos ejemplos.

Otro ejemplo (no en los casos descritos anteriormente) de una matriz cero-uno con determinante impar es una $2n×2n$ matriz con ceros en la diagonal y unos en el resto - esto tiene determinante $1-2n$ .

Finalmente, la forma más general de construir una matriz cero-uno con determinante impar es tomar cualquier matriz integral con determinante impar y reducir modulo $2$ (las probabilidades de $1$ , iguala a $0$ ), ya que $\mathbb Z_2$ es un campo.

Answer 2

Si tiene una matriz $A$ tal que $A^TA=I$ entonces

$$1=\det(I) = \det(A^TA) = \det(A)^2$$

Answer 3

También cualquier matriz diagonal con elementos Impares en la diagonal, de hecho:

$$\det(A)=a_{1,1} \cdots a_{n,n}$$