¿Cuál es la diferencia algebraica entre una reflexión y una reflexión de deslizamiento?

Question

Estoy autoestudiando con Álgebra de Artins y llegué al capítulo 5, sección 2. Allí define cuatro tipos de simetría (de conservación de la orientación: rotación y traslación; de inversión de la orientación: reflexión y reflexión por deslizamiento) y pasa a mostrar que todas ellas pueden representarse como la composición de una reflexión sobre el eje x1 (si es de inversión de la orientación), una rotación alrededor del origen y una traslación. En uno de los ejercicios, te piden que "demuestres que un conjugado de una reflexión o una reflexión-deslizamiento es un movimiento del mismo tipo", pero no entiendo cómo puedo distinguir la reflexión y la reflexión-deslizamiento a nivel algebraico ya que una reflexión alrededor de una línea que no interseca el origen también incluye traslaciones, y no he encontrado nada en el capítulo al respecto.

Edición: utilizando $f(f(x))=x$ para una reflexión $f(x)=t_a(\rho_\theta(r(x)))$ obtuve el resultado de que, para un vector de traslación $a$ y un ángulo de rotación $\theta$ Tendríamos

$$\begin{bmatrix}a_1\\a_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\cos(\theta)a_1-\sin(\theta)a_2\\ -\sin(\theta)a_1+\cos(\theta)a_2 \end{bmatrix}$$ si y sólo si $f$ es una reflexión. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Dado que $f(x) = t_a\circ \rho_\theta\circ r$ vemos que $f$ es un reflejo si y sólo si $f(f(0)) = 0$ . Observamos que $$ \begin{align} f(f(0)) & = f(a) = a + \rho_\theta(r(a)) = a + \pmatrix{\cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta } \pmatrix{a_1\\ -a_2} \\ & = \pmatrix{a_1\\a_2} + \pmatrix{\cos \theta a_1 + \sin \theta a_2\\ \sin \theta a_1 - \cos \theta a_2}. \end{align} $$ Así que, efectivamente, su afirmación es correcta.