Vectores más aproximadamente ortogonales que la dimensión del espacio

Question

Es imposible encontrar $n+1$ vectores unitarios mutuamente ortogonales en $\mathbb{R}^n$ .

Sin embargo, un argumento geométrico simple muestra que el ángulo central entre dos catetos cualesquiera de un simplex va como $\theta = \mathrm{arccos}(-1/n)$ . Esto se aproxima a $90$ grados como $n \rightarrow \infty$ Así que, como hay $n+1$ vértices de un simplex en $n$ -espacio dimensional, podemos concluir

Dado $\epsilon > 0$ existe un $n$ de manera que podamos encontrar $n+1~$ aproximadamente ortogonales entre sí vectores en $\mathbb{R}^n$ , hasta la tolerancia $\epsilon$ . (Vectores unitarios $u$ y $v$ se dice que son aproximadamente ortogonales a la tolerancia $\epsilon$ si su producto interior satisface $\langle u,v \rangle < \epsilon$ )

Mi pregunta es una generalización natural de esto - si podemos exprimir $n+1$ vectores aproximadamente ortogonales entre sí en $\mathbb{R}^n$ para $n$ suficientemente grande, ¿cuántos vectores más podemos meter? $n+2$ ? $n+m$ para cualquier $m$ ? $2n$ ? $e^n$ ?

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Editar: Creo que se puede exprimir al menos $n+m$ para cualquier $m$ mediante la siguiente construcción. Dado $\epsilon$ se encuentra el $k$ de tal manera que se puede tener $k+1$ $\epsilon$ -aproximar vectores unitarios mutuamente ortogonales en $\mathbb{R}^k$ . Llama a estos vectores $v_1, v_2, ..., v_k$ . Entonces podrías exprimir $mk+m$ vectores en $\mathbb{R}^{mk}$ utilizando los vectores $$\begin{bmatrix} v_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} v_2 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} v_{k+1} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ v_1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ v_2 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ v_{k+1} \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \dots \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ v_1 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ v_2 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ v_{k+1} \\ \end{bmatrix}. $$

Por lo tanto, el establecimiento de $n = mk$ Hemos encontrado un $n$ de tal manera que podamos encajar $n + m$ $\epsilon$ -vectores unitarios ortogonales en $\mathbb{R}^n$ .

Answer 1

Esta pregunta ha sido formulada y respondida en MathOverflow . He replicado la respuesta aceptada por Lucía a continuación.

Un conjunto de puntos de la esfera unitaria en ${\Bbb R}^n$ con $\langle x,y\rangle \le \cos \theta$ para todos los distintos $x$ y $y$ se denomina código esférico con ángulo mínimo $\theta$ . Para $0<\theta < \pi/2$ Kabatiansky y Levenshtein dieron un límite superior exponencial (de la forma $\exp(C(\theta)n)$ ) para el número máximo de puntos en dicho código esférico. También existe un límite inferior exponencial. Esto está relacionado con los empaquetamientos de esferas. Véase, por ejemplo, el reciente trabajo de Cohn y Zhao, que tendrá más referencias: http://arxiv.org/pdf/1212.5966v2.pdf