Discriminante del campo numérico

Question

Calcular el discriminante del campo numérico $K = \mathbb{Q}(\alpha)$ , donde $\alpha$ es la raíz del polinomio $x^3 - x- 1$ .

cualquier ayuda es bienvenida, ¡salud!

Answer 1

Dejemos que $f(X) = X^3 + aX + b$ sea un polinomio en $\mathbb{Z}[X]$ . El discriminante $d$ de $f(X)$ es $-(4a^3 + 27b^2)$ . En su caso $d = -23$ . Desde $-23$ es libre de cuadrados ( $23$ es un primo), $1, \alpha, \alpha^2$ es una base integral de $K$ . Por lo tanto, el discriminante de $K$ es $-23$ .