¿Qué rango de valores se supone que representa la palabra "cerca" en esta definición informal de continuidad?

Question

En mi libro daba dos explicaciones informales sobre el concepto de continuidad. Tenía una duda en la segunda explicación pero la he aclarado preguntando aquí. La explicación es ,

Supongamos que una función f tiene el valor f(p) en un determinado punto p. Entonces se dice que f es continua en p si en cada punto cercano x el valor de la función f(x) es cercano a f(p).

Mi duda es que ¿cuál es el rango de valores que se supone que representa la palabra "cerca" porque si mantenemos p=3 tanto 2 como 4 están cerca de 3, 2,5 y 3,5 también están cerca de 3 y muchos más números están cerca de 3 sólo quiero saber qué tan cerca está?

El nombre del libro es 'Cálculo', el autor es Tom Apostol.

Answer 1

Sólo quiero saber qué tan cerca está de nosotros.

Es tan cerca como sea necesario . Hay que verlo como una especie de reto. Si prescribes una distancia $\varepsilon$ alrededor de $f(p)$ hay como distancia $\delta$ alrededor de $p$ de manera que si $x$ está a menos de $\delta$ de $p$ entonces $f(x)$ está a menos de $\varepsilon$ de $f(p)$ .

Valor real para $\delta$ depende de $\varepsilon$ , en $p$ y en $f$ .