El morfismo de Frobenius

Question

Encontré la siguiente lista en la página web " Página de Frobenius ", de David Ben-Zvi, descrito por el autor como "una colección anticuada de formas intuitivas de pensar en la elevación a la p-ésima potencia".

1. Genera una copia de los enteros (o más bien su terminación profinita) en grupos locales de Galois. Geométricamente, esto nos da un "círculo infinitesimal" sobre cada punto, para el que Frobenius es la monodromía. Por ejemplo, una curva algebraica sobre un campo finito puede considerarse como un manifold de 3 fibras sobre el círculo, con Frobenius como dirección del círculo.
2. Proporciona una gradación natural en objetos "mixtos" (por ejemplo, cohomologías de esquemas singulares, gavillas perversas, etc.) por sus valores propios. Pureza: sólo una pieza graduada. Clave para resultados como el Teorema de la Descomposición.
3. El retroceso del complejo deRham se convierte en $\mathcal{O}$ -lineal. (La derivada de la potencia p es cero - ¡simplifica el cálculo!) Lleva al operador de Cartier en la cohomología. La estructura lineal permite, por ejemplo, a Deligne-Illusie demostrar la degeneración de Hodge a DeRham.
4. En la misma nota, las láminas adquieren una conexión canónica después del pullback de Frobenius - cuando Frobenius es un isomorfismo. Contraejemplo: $X$ variedad abeliana, $H^0(X,\Omega)$ sur $H^1(X)$ (primera pieza de la filtración de Hodge) es eliminada por Frobenius - ya que toda forma única es localmente exacta.
5. Su falta de conmutación con una conexión da lugar a la curvatura p, una canónica $\mathcal{O}^p$ - forma lineal. Esto mide el obstáculo para exponenciar una conexión a través del orden p-ésimo (p!=0 => necesidad de potencias divididas..)
6. La curvatura p de la conexión Gauss-Manin como clase Kodaira-Spencer (Katz).
7. Proporciona un automorfismo del grupo aditivo - genera el anillo de polinomios aditivos. Análogo al anillo de operadores diferenciales. Las incrustaciones de anillos de coordenadas en este anillo (módulos de Drinfeld) proporcionan importantes problemas de módulos, clave para el programa de Langlands para campos de funciones.
8. Da lugar a los automorfismos de las variedades bandera (por ejemplo) => pide que una bandera y sus traslados de Frobenius tengan una posición relativa prescrita: Variedades de Deligne-Lusztig (análogas a las celdas de Schubert, independientes de la perforación).
9. Los núcleos de Frobenius y sus iterados dan vecindades infinitesimales naturales de la identidad en esquemas de grupo.
10. Cristales F: tanto la "conexión plana" como la estructura de Frobenius. F es horizontal, pero sin embargo los valores propios no son constantes -> polígonos de Newton, y estratificaciones relacionadas de los esquemas de módulos.
11. Como mapa de contratación - puede aplicar fórmulas de punto fijo después de aplicar Frobenius.
12. Principio de Dwork - utilizar Frobenius para fijar términos constantes para hacer la integración p-ádica (utilizar para unir piezas locales).
13. Elevaciones de Frobenius a la característica cero - análogos p-ádicos de la métrica de Kahler (Mochizuki).
14. Junto con la Verschibung y la homotecia genera el anillo de operadores de Cartier. Los módulos apropiados sobre éste (módulos de Dieudonne) son esenciales para la clasificación de los esquemas de grupo.

Creo que sería muy interesante que algunos usuarios de MO (entre los que quizá esté el propio autor)

• Amplíe la descripción de cada punto 1.-10. explicando también su propia comprensión intuitiva del fenómeno, y dando algunos ejemplos y referencias a los lectores interesados.
• Añade nuevos elementos a la lista.

Answer 1

El pullback por el Frobenius realiza la operación de Adams de p^a potencia como un functor real sobre la categoría de haces vectoriales sobre un esquema en característica p, algo que no es posible en característica cero. Esta observación de Quillen fue el punto de partida de su primera aproximación a la conjetura (compleja) de Adams, detalles completados por Friedlander.

Answer 2

El método de doblar y romper para producir muchas curvas racionales en variedades algebraicas.

Answer 3

Esto es muy básico y aparece a lo largo de numerosas aplicaciones, pero al desaparecer Serre...

Para una amplia $L$ , Frobenius acaba con la cohomología de $H^i(X, L^{-1})$ para $i < \dim X$ y mata $H^i(X, L)$ para $i > 0$ .

(En otras palabras, el mapa natural $F^e : H^i(X, L) \to H^i(X, L^{p^e})$ tiene un objetivo cero para $e \gg 0$ .)

Answer 4

Connes, Consani y Marcolli desarrollaron una teoría de "Frobenius en char. 0", relacionada allí con las evoluciones temporales inherentes a las álgebras de von Neumann y proporcionando una forma inusual de ver los casos de char p. ( enlace )