Matemáticas de Futurama

Question

En el D.O.O.P. estamos intentando modelar matemáticamente un cohete propulsado por la materia negra cagada por la mascota de su empleada Leela, Nibbler. Obviamente, este cohete está alimentado por materia negra que, junto con la cámara de combustión de la nave, tiene algunas propiedades especiales.

Materia negra Propiedades Hemos descubierto que hay dos tipos de materia negra: una fabricada de forma natural (por la caca de Nibbler) y otra fabricada sintéticamente en nuestro motor de combustión especial para cohetes. La materia negra fabricada sintéticamente decae exponencialmente a un ritmo de $r$ hasta que toda su masa se convierta en nada y sea desechada.

Propiedades de los cohetes Cuando se utiliza cualquier materia negra como combustible en la cámara de combustión. Se produce materia negra (de tipo sintético) según la siguiente ecuación. $$\dfrac {dP_a} {dt}\leq \dfrac {dP_c} {dt}=\left( 1-\dfrac {\alpha } {100}\right)B$$

Aquí $B$ representa la cantidad de materia negra que hay actualmente en la cámara de combustión. $\alpha$ es un porcentaje, un mecanismo de control en la nave para controlar la producción. $P_c$ es un límite superior de la nueva producción de materia negra (capacidad), pero descubrimos que hay una ineficiencia en el sistema tal que la tasa real de producción de materia negra es de hecho $P_{a}$ .

Como queremos viajar tan rápido como podamos, tan pronto como cualquier nueva materia negra $P_{a}$ se produce lo añadimos a $B$ y somos capaces de hacer todo esto en una cantidad de tiempo infinitesimal(continuamente).

Te invitamos a examinar y modelar científicamente los procesos de este cohete junto con decir $B_0$ cantidad de materia negra natural inicial. ¿Cómo podemos modelar o representar este sistema con la menor cantidad de ecuaciones y al mismo tiempo capturar la esencia de todo el problema?

De la mesa de Zapp Brannigan
"¡Y como todos mis planes, es tan simple que un idiota podría haberlo ideado!"

     Edit:

Intento de solución Suponiendo que $B_0$ para ser la cantidad inicial de materia negra disponible. Empezamos a realizar la combustión con esta cantidad inicial $B_0$ producimos más materia negra a razón de $\dfrac {dP_a} {dt}\leq \dfrac {dP_c} {dt}=\left( 1-\dfrac {\alpha } {100}\right)B_{0}$ . Como $dt$ tiempo pasa tomamos el nuevo $P_a$ cantidad producida y añadirla a $B_{0}$ . También observamos que esta materia negra sintética recién creada $P_a$ está decayendo exponencialmente. Estoy teniendo problemas para averiguar cómo juntar estas relaciones para que ambos procesos se puedan llevar a cabo simultáneamente.Me conformaría con que, si lo desea, sólo considere el caso en que $P_a$ y $P_c$ son los mismos.

Answer 1

Creo que nos ha dicho que $B$ cambia con respecto al tiempo por dos razones. Una tiene influencia positiva: su motor produce nueva materia oscura. La otra tiene influencia negativa: la materia oscura decae exponencialmente. Supongo que es este decaimiento el que alimenta el motor, porque no veo nada más que explique cómo se quema el combustible para la propulsión.

Así que $$\begin{align} \frac{dB}{dt} & = \frac{dP_a}{dt} - rB\\ \end{align} $$

Suponiendo que $\frac{dP_a}{dt}=\frac{dP_c}{dt}$ , $$\begin{align} \frac{dB}{dt} & =\left(1-\frac{\alpha}{100}\right)B - rB\\ &=\left(1-\frac{\alpha}{100}-r\right)B \end{align} $$ Esta ecuación tiene solución $B=B_0e^{\left(1-\frac{\alpha}{100}-r\right)t}$

Con $\frac{dP_a}{dt}<\frac{dP_c}{dt}$ Por supuesto, es posible hacer mucho más. En el extremo, $\frac{dP_a}{dt}=0$ et $B=B_0e^{-rt}$ .

Así que $$B_0e^{-rt}\leq B(t)\leq B_0e^{\left(1-\frac{\alpha}{100}-r\right)t}$$ Cualquier curva que se sitúe entre estas dos y que nunca tenga una tasa de crecimiento relativo más pronunciada que el límite superior ni una tasa de crecimiento relativo menos pronunciada que el límite inferior es una posible solución, dependiendo de cómo sea exactamente $\frac{dP_a}{dt}$ difiere de $\frac{dP_c}{dt}$ .