¿Pueden definirse la función de Von-Mangoldt y la función de Chebyshev para el plano complejo entero?

Question

¿Pueden definirse la función de von-Mangoldt y la función de Chebyshev para todo el plano complejo?

Supongo que sí, pero no había visto la definición. ¿Alguien puede proporcionar algún enlace al respecto?

Gracias.

Answer 1

La función de von Mangoldt puede generarse en el polo $s=1$ de la zeta de Riemann con la fórmula $$\Lambda(n,s)=\lim\limits_{s \rightarrow 1} \zeta(s)\sum\limits_{d|n} \frac{\mu(d)}{d^{(s-1)}}$$

Así que puede en lugar de $s \rightarrow 1$ dejar $s$ sea un número complejo para que tengas: $s=a+ib$

$$\Lambda(n,a,b)=\lim\limits_{s \rightarrow a+ib} \zeta(s)\sum\limits_{d|n} \frac{\mu(d)}{d^{(s-1)}}$$