Para encontrar la dimensión del subespacio

Question

Sea V un subespacio de $M_n (R) $ sea un subespacio de todas las matrices que sumen cero las entradas de cada fila y las entradas de cada columna también sumen cero. He probado con matrices simples pero no he conseguido la respuesta correcta.

Answer 1

SUGERENCIA: Sin sus suposiciones tiene $n^2$ pero ahora, por ejemplo, se determina la última fila y la última columna. ¿Cuántos parámetros quedan?

Answer 2

El símbolo $\times $ se utiliza para un valor conocido: por ejemplo, dados todos los componentes de la primera fila, el último componente es $$a_{1n}=-\sum_{k=1}^{n-1}a_{1k}$$ por lo que una matriz en el subespacio mencionado toma la forma $$\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&\cdots& \times\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\times&\times&\cdots&\times\end{pmatrix}$$ por lo que vemos que la dimensión del subespacio es el número de componentes desconocidos: $$n^2-(2n-1)=(n-1)^2$$