Definición de curvatura total

Question

Estoy leyendo el primer capítulo del libro " Curso de superficies mínimas "de Colding y Minicozzi.

Mi pregunta es sobre el concepto de curvatura total de un submanifold incrustado de $\mathbb{R}^n$ .

Limitemos nuestra atención al caso simple en el que $\Sigma$ es un $2$ -submanifold incrustado de $\mathbb{R}^3$ . Sea $A$ sea la segunda forma fundamental. Parece que en el libro el curvatura total de $\Sigma$ es $|A|^2$ es decir, la norma al cuadrado de $A$ .

¿Es esta la definición estándar? ¿Qué representa? Yo solía utilizar el término "curvatura total" como sinónimo de la curvatura gaussiana, es decir, para $K = \det A $ .

Cualquier aclaración será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

En resumen, la relación entre los conceptos matemáticos y la terminología no es unívoca ni unívoca.

En la geometría diferencial de las superficies, la "curvatura total" hace generalmente se refieren a la integral de $K\, dA$ .

En la teoría de las superficies mínimas, el $L^{2}$ -de la segunda forma fundamental, es decir, la integral de $$ k_{1}^{2} + k_{2}^{2} = (k_{1} + k_{2})^{2} - 2k_{1} k_{2} = 4H^{2} - 2K, $$ es una función útil. Aunque se podría llamar a esto la "(curvatura media) energía ", los autores son libres de introducir una terminología conveniente (dentro de lo razonable).